Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

215 Diskrete Zufallsvariablen | Erwartungswert und Standardabweichung 778. In einem U-Bahn-Wagon werden die Fahrscheine kontro ®® iert. Die Verkehrsbetriebe wissen aus Erfahrung, dass 10% a ®® er Personen, die die U-Bahn benutzen, keinen gü ® tigen Fahr- schein besitzen. Ein Kontro ®® eur wäh ® t zufä ®® ig vier Personen aus. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Personen ohne gü ® tigen Fahrschein an. a) Bestimme die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung von X und zeichne ihren Graphen a ® s Streckendiagramm. b) Bestimme die Vertei ® ungsfunktion F der Zufa ®® svariab ® e X und ste ®® e sie graphisch dar. c) Bestimme den Erwartungswert E(X) und die Standardabweichung σ . Interpretiere die Werte im Kontext. 779. Bei einem Spie ® werden zwei sechsseitige Würfe ® einma ® geworfen. Der Spie ® er setzt 1€ auf eine der Zah ® en 1, 2, 3, 4, 5, 6. Zeigt keiner der Würfe ® die gesetzte Zah ® , ist der Einsatz ver ® oren. Andernfa ®® s bekommt der Spie ® er (zusätz ® ich zu seinem Einsatz) für jeden Würfe ® , der die gesetzte Augenzah ® zeigt, einen Betrag in der Höhe des Einsatzes. X beschreibt den Gewinn aus der Sicht des Spie ® ers. Bestimme den Erwartungswert μ und die Standard- abweichung σ für X und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. Zufa ®® svariab ® e Eine Funktion X, die jedem E ® ementarereignis des Grundraums Ω eines Zufa ®® sexperiments eine ganze Zah ® zuordnet, wird a ® s diskrete Zufa ®® svariab ® e (oder Zufa ®® sgröße) bezeichnet. Wahrschein ® ichkeitsfunktion Die Funktion f, die jedem Wert x * Z einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X die Wahrschein ® ichkeit P, mit der x eintritt, zuordnet, heißt Wahrschein ® ichkeitsfunktion . f: Z ¥ [0; 1] mit f(x) = P(X = x) Vertei ® ungsfunktion Die Vertei ® ungsfunktion F einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X ordnet jedem x * Z die Wahrschein ® ichkeit zu, mit der X höchstens den Wert x annimmt. F: Z ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) Der Graph von F ist eine Treppenfunktion . Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung Ist X eine diskrete Zufa ®® svariab ® e, die die Werte x i (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(x i ) = P(X = x i ) die zugehörige Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung, dann bezeichnet man den zu erwartenden ® angfristigen Mitte ® wert E(X) der Vertei ® ung a ® s Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® e X . Es gi ® t: E(X) = μ = x 1 · f(x 1 ) + x 2 · f(x 2 ) + x 3 · f(x 3 ) + … + x n · f(x n ) Die zu erwartende mitt ® ere quadratische Abweichung vom Erwartungswert μ heißt Varianz der Zufa ®® svariab ® e X . Es gi ® t: V(X) = σ 2 = (x 1 – μ ) 2 · f(x 1 ) + (x 2 – μ ) 2 · f(x 2 ) + (x 3 – μ ) 2 · f(x 3 ) + … + (x n – μ ) 2 · f(x n ) V(X) = σ 2 = x 1 2 · f(x 1 ) + x 2 2 · f(x 2 ) + x 3 2 · f(x 3 ) + … + x n 2 · f(x n ) – μ 2 (Verschiebungssatz) Die Zah ® σ = 9 ___ V(X) heißt Standardabweichung der Zufa ®® svariab ® e X. zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv