Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

213 Diskrete Zufallsvariablen | Erwartungswert und Standardabweichung G ® ücksrad 1 G ® ücksrad 2 Da 1€ Einsatz gezah ® t wird, kann die Zufa ®® svariab ® e X die Werte –1, 0 und 1 annehmen. Für die Wahrschein ® ichkeits- vertei ® ung gi ® t: x ‒1 0 1 P(X = x) 0,5 0,25 0,25 Da 1€ Einsatz gezah ® t wird, kann die Zufa ®® svariab ® e Y die Werte –2, –1, 0 und 2 annehmen. Für die Wahrschein ® ichkeits- vertei ® ung gi ® t: y ‒ 2 ‒1 0 2 P(Y = y) 0,25 0,25 0,25 0,25 Für den Erwartungswert E(X) gi ® t: E(X) = ‒1 · 0,5 + 0 · 0,25 + 1 · 0,25 = ‒ 0,25€ Für den Erwartungswert E(Y) gi ® t: E(Y) = ‒ 2 · 0,25 + (–1) · 0,25 + 0 · 0,25 + + 2 · 0,25 = ‒ 0,25€ Interpretation: Bei beiden G ® ücksrädern muss der Spie ® er im ® angfristigen Mitte ® mit einem Ver ® ust von durchschnitt ® ich 0,25€ pro Spie ® rechnen. Berechnung der Varianz V(X) bzw. der Standardabweichung σ = 9 ___ V(X): V(X) = (‒1 – (‒ 0,25)) 2 · 0,5 + (0 – (‒ 0,25)) 2 · · 0,25 + + (1 – (‒ 0,25)) 2 · 0,25 = 0,6875 ¥ σ ≈ 0,8 292 Berechnung der Varianz V(Y) bzw. der Stan- dardabweichung σ = 9 ___ V(Y) V(Y) = (‒ 2 – (–0,25)) 2 · 0,25 + (–1 – (‒ 0,25)) 2 · · 0,25 + (0 – (‒ 0,25)) 2 · 0,25 + + (2 – (‒ 0,25)) 2 · 0,25 = 2,1875 ¥ σ ≈ 1,4790 x f(x) 1 – 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 E(X) σ σ x f(x) 1 2 –2 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 E(Y) I σ σ Interpretation: Es sind zwar die Erwartungswerte für beide Zufa ®® svariab ® en g ® eich, die Werte, die die Zufa ®® svariab ® e annehmen kann, ® iegen aber bei Y weiter auseinander a ® s bei X. Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die Werte um den Erwartungswert streuen. Beim zweiten Rad kann man wegen der größeren Streuung beim oftma ® igen Spie ® en daher ab und zu mehr ver ® ieren, andererseits jedoch auch einen höheren Gewinn erzie ® en. 772. Ein Spie ® er kann an den G ® ücksrädern 1 und 2 sein G ® ück versuchen. Es wird einma ® gedreht. Bei G ® ücksrad 1 ist pro Spie ® ein Einsatz von 2,25€ zu bezah ® en, bei G ® ücks- rad 2 ein Einsatz von 2€. Die Zah ® en auf den Fe ® dern geben die Auszah ® ungsbeträge an. X gibt den Gewinn aus der Sicht des Spie ® ers bei G ® ücksrad 1 an, Y den Gewinn aus der Sicht des Spie ® ers bei G ® ücksrad 2. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabwei- chung für X und Y und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. G ® ücksrad 1 G ® ücksrad 2 1 2 3 1 2 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv