Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 212 Diskrete Zufallsvariablen 9 770. Gegeben ist die graphische Darste ®® ung der Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung der Zufa ®® svariab ® e Y. Bestimme den Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® en. a) b) E(Y) = E(Y) = Varianz und Standardabweichung Unter der Varianz V(X) versteht man eine Zah ® , mit der beschrieben werden kann, wie stark die einze ® nen Werte der Zufa ®® svariab ® e X von ihrem Erwartungswert E(X) abweichen, d. h. wie weit die Werte von X streuen. Es hande ® t sich dabei um die zu erwartende mitt ® ere quadratische Abweichung von E(X). Varianz und Standardabweichung Ist X eine diskrete Zufa ®® svariab ® e, die die Werte x i (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(x i ) = P(X = x i ) die zugehörige Wahrschein ® ichkeitsfunktion, dann bezeichnet man die zu erwartende mitt ® ere quadratische Abweichung vom Erwartungswert E(X) = μ der Vertei ® ung a ® s Varianz der Zufa ®® svariab ® e X. Es gi ® t: V(X) = σ 2 = (x 1 – μ ) 2 ·P(X = x 1 ) + (x 2 – μ ) 2 ·P(X = x 2 ) + (x 3 – μ ) 2 ·P(X = x 3 ) + … + (x n – μ ) 2 ·P(X = x n ) ( σ … sprich: sigma) Die Zah ® σ = 9 ___ V(X) heißt Standardabweichung der Zufa ®® svariab ® e X. Die Forme ® zur Berechnung von V(X) ® ässt sich durch Anwendung des sogenannten Verschie- bungssatzes vereinfachen (Beweis S. 274). V(X) = σ 2 = x 1 2 · P(X = x 1 ) + x 2 2 · P(X = x 2 ) + x 3 2 · P(X = x 3 ) + … + x n 2 · P(X = x n ) – μ 2 771. Auf einem Jahrmarkt gibt es zwei Stände mit G ® ücksrädern. Nach einem Einsatz von 1€ darf man den Zeiger einma ® drehen und erhä ® t den Betrag a ® s Gewinn ausgezah ® t, auf dem der Zeiger stehenb ® eibt. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt den Gewinn bei G ® ücksrad 1 an, die Zufa ®® s- variab ® e Y den bei G ® ücksrad 2. G ® ücksrad 1 G ® ücksrad 2 Bestimme für X und Y jewei ® s die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung und ste ®® e sie graphisch dar. Ermitt ® e den Erwartungswert sowie die Standardabweichung und interpretiere die Ergebnisse im Kontext. WS 3.1 y f(y) 2 4 6 8 1 3 5 7 0,1 0,2 0,3 0 y f(y) 2 4 6 8 1 3 5 7 0,1 0,2 0,3 0 Techno ® ogie An ® eitung Varianz und Standard- abweichung berechnen 4s64ru muster 2€ 1€ 0€ 3€ 1€ 0€ –1€ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv