Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 210 Diskrete Zufallsvariablen 9 Aus der Tabe ®® e kann abge ® esen werden, dass 35-ma ® 0€, 45-ma ® 0,20€, 15-ma ® 0,50€, 3-ma ® 1€ und 2-ma ® 2€ ausbezah ® t werden. Bei 100 Spie ® en ergeben sich für die Auszah ® ungs- beträge die re ® ativen Häufigkeiten h 100 (0) = 35%, h 100 (0,20) = 45%, h 100 (0,50) = 15%, h 100 (1) = 3% und h 100 (2) = 2%. Der mitt ® ere Auszah ® ungsbetrag a ®® er Spie ® e ist dann: _ x = 0 · h 100 (0) + 0,20 · h 100 (0,20) + 0,50 · h 100 (0,50) + 1 · h 100 (1) + 2 · h 100 (2) = 0 · 0,35 + 0,20 · 0,45 + 0,50 · 0,15 + 1 · 0,03 + 2 · 0,02 = 0,235€ Pro Spie ® werden im Durchschnitt a ® so 0,235€ ausbezah ® t. Rechnet man davon noch 0,50€ Einsatz pro Spie ® ab, ergibt sich aus der Sicht des Spie ® ers ein mitt ® erer Ver ® ust von 0,265€ (0,235€ – 0,50€ = ‒ 0,265€). Wird die Anzah ® n der Versuche immer größer, nähern sich die re ® ativen Häufigkeiten h n für die Auszah ® ung eines bestimmten Betrags a 1 , a 2 , …, a k den Wahrschein ® ichkeiten an, mit denen die Beträge auftreten (vg ® . Lösungswege 6). D. h. h n (a 1 ) ≈ P(X = a 1 ), h n (a 2 ) ≈ P(X = a 2 ), …, h n (a k ) ≈ P(X = a k ). Statt _ x schreibt man dann μ oder E(X). Man bezeichnet diesen Wert a ® s Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® en X. Erwartungswert Ist X eine diskrete Zufa ®® svariab ® e, die die Werte x i (i = 1, 2, 3, 4, …, n) annimmt, und f(x i ) = P(X = x i ) die zugehörige Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung, dann bezeichnet man den zu erwartenden ® angfristigen Mitte ® wert E(X) der Vertei ® ung a ® s Erwartungswert der Zufa ®® svariab ® e X . Es gi ® t: E(X) = μ = x 1 · f(x 1 ) + x 2 · f(x 2 ) + x 3 · f(x 3 ) + … + x n · f(x n ) = x 1 · P(X = x 1 ) + x 2 · P(X = x 2 ) + x 3 · P(X = x 3 ) + … + x n · P(X = x n ) ( μ … sprich: mü) 761. Ein sechsseitiger Würfe ® wird einma ® geworfen. Mit 0,50€ Einsatz erhä ® t man den Betrag a ® s Gewinn ausbezah ® t, der der gewürfe ® ten Augenzah ® entspricht (X = Gewinn des Spie ® ers in Euro). Bestimme den Erwartungswert von X, d. h. die Gewinnerwartung für den Spie ® er, wenn dieser sehr oft spie ® t. Jede Augenzah ® tritt mit der Wahrschein ® ichkeit 1 _ 6 auf. X nimmt (unter Berücksichtigung des Einsatzes) die Werte 0,5€; 1,5€; 2,5€; 3,5€; 4,5€ bzw. 5,5€ an. Es gi ® t: E(X) = μ = 0,5 · P(X = 0,5) + 1,5 · P(X = 1,5) + 2,5 · P(X = 2,5) + 3,5 · P(X = 3,5) + + 4,5 · P(X = 4,5) + 5,5 · P(X = 5,5) = 1 _ 6 · (0,5 + 1,5 + … + 5,5) = 3€ 762. Ein Spie ® automat, bei dem pro Spie ® 1€ eingesetzt werden muss, zah ® t die in der Tabe ®® e angege- benen Ge ® beträge mit den entsprechenden Wahrschein ® ichkeiten aus. a) Berechne den Erwartungswert für die Zufa ®® svariab ® e X = „Auszah ® ung in Euro“. b) Berechne den Erwartungswert für die Zufa ®® svariab ® e Y = „Gewinn (= Differenz zwischen Auszah ® ungsbetrag und Einsatz) in Euro“. muster Auszah ® ung in Euro Wahrschein ® ichkeit, mit der die Auszah ® ung erfo ® gt 0 0,40 0,40 0,30 0,80 0,20 2 0,06 4 0,04 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv