Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

207 Diskrete Zufallsvariablen | Verteilungsfunktion 752. Eine Münze wird dreima ® geworfen. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der dabei auftre- tenden „Zah ® “-Würfe an. Gib die Vertei ® ungsfunktion F von X an und zeichne ihren Graphen. Mit K für „Kopf“ und Z für „Zah ® “ ste ®® t man zuerst den Grundraum Ω auf: Ω = {KKK, ZKK, KZK, KKZ, ZZK, ZKZ, KZZ, ZZZ}. Die Zufa ®® svariab ® e X kann die Werte 0, 1, 2 und 3 annehmen. Da „Kopf“ bzw. „Zah ® “ jewei ® s mit der Wahrschein ® ichkeit 0,5 auftreten, gi ® t für die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung für X: P(X = 0) = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,5 3 = 0,125 P(X = 2) = 3 · 0,5 3 = 0,375 P(X = 1) = 3 · 0,5 3 = 0,375 P(X = 3) = 0,5 3 = 0,125 Für die Vertei ® ungsfunktion F können dann die entsprechenden Tei ® summen berechnet werden: F(0) = P(X ª 0) = P(X = 0) = 0,125 F(2) = P(X ª 2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875 F(1) = P(X ª 1) = 0,125 + 0,375 = 0,5 F(3) = P(X ª 3) = 0,125 + 0,375 + 0,375 + 0,125 = 1 Der Graph von F ist eine Treppenfunktion . Der größte Funktionswert der Vertei ® ungs- funktion F entspricht der Summe der Werte der Wahrschein ® ichkeitsfunktion f und ist daher 1. Die Sprunghöhen von F sind genau die Funktionswerte von f an den Sprung- ste ®® en, wei ® F durch Summieren der Funk- tionswerte von f entsteht. Die waagrechten Verbindungs ® inien von einem Punkt zur Sprungste ®® e gehören nicht zum Graphen und dienen nur dazu, den Ver ® auf des Graphen besser erkennen zu können. 753. Eine Münze wird zweima ® geworfen. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der dabei auftre- tenden „Kopf“-Würfe an. Gib die Vertei ® ungsfunktion F der Zufa ®® svariab ® en X an und zeichne ihren Graphen. 754. Vier Tei ® e eines Geräts so ®® en hintereinander auf ihre Funktionstüchtigkeit überprüft werden, wobei jedes Tei ® unabhängig von den drei anderen mit einer Wahrschein ® ichkeit von 8% ausfa ®® en kann. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Tei ® e an, die überprüft werden, bis das erste defekte Tei ® auftritt. a) Gib die Werte an, die die Zufa ®® svariab ® e X annehmen kann. b) Bestimme die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung f und zeichne ihren Graphen a ® s Streckendiagramm. c) Gib die Vertei ® ungsfunktion F an und zeichne ihren Graphen. 755. Bei einem Spie ® kommt man erst ins Spie ® , wenn man einen Sechser würfe ® t. Es darf sechsma ® gewürfe ® t werden. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt dabei die Nummer des Wurfes an, bei dem das erste Ma ® ein Sechser gewürfe ® t wird. a) We ® che Werte kann die Zufa ®® svariab ® e annehmen? b) Bestimme die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung von X. c) Bestimme die Vertei ® ungsfunktion von X und ste ®® e sie graphisch dar. d) Berechne die Wahrschein ® ichkeit P(2 ª X ª 4) und interpretiere das Ergebnis im Kontext. e) Berechne die Wahrschein ® ichkeit P(X > 4) und interpretiere das Ergebnis im Kontext. muster x F(x) F 1 2 3 4 5 6 7 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv