Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 206 kompe- tenzen 9.2 Vertei ® ungsfunktion Lernzie ® e: º Die Vertei ® ungsfunktion einer Zufa ®® svariab ® en angeben können º Die Vertei ® ungsfunktion graphisch darste ®® en können Oft interessiert man sich für die Wahrschein ® ichkeit, dass der Wert einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X eine bestimmte Zah ® a nicht überschreitet, d. h. höchstens den Wert a annimmt. Eine Spie ® erin einer Handba ®® mannschaft wird ver ® etzt. Bei dieser Ver ® etzung weiß der Trainer aus Erfahrung, dass die Zeit, bis die Spie ® erin wieder eingesetzt werden kann, mindestens fünf und höchstens neun Tage beträgt. Die Zufa ®® svariab ® e X gibt die Anzah ® der Tage a bis zur Genesung an. Die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung für X ist in der fo ® genden Tabe ®® e dargeste ®® t. a < 5 5 6 7 8 9 > 9 P(X = a) 0 0,15 0,28 0,48 0,06 0,03 0 Der Trainer möchte nun wissen, ob die Spie ® erin für ein wichtiges Spie ® in 7 Tagen wieder auf dem Spie ® fe ® d stehen kann, d. h. er interessiert sich für die Wahrschein ® ichkeit P(X ª 7). Nach der Additionsrege ® für Wahrschein ® ichkeiten unabhängiger Ereignisse gi ® t: P(X ª 7) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0 + 0,15 + 0,28 + 0,48 = 0,91 = 91% In sieben Tagen ist die Spie ® erin mit 91%-iger Wahrschein ® ichkeit wieder fit. Auf die g ® eiche Weise kann man die Wahrschein ® ichkeiten für X ª 5, X ª 6, X ª 8 bzw. X ª 9 berechnen. Dadurch wird eine Funktion festge ® egt, die die Wahrschein ® ichkeit angibt, dass die Zufa ®® svariab ® e höchstens eine bestimmte natür ® iche Zah ® erreicht. Diese Funktion wird a ® s ( kumu ® ative ) Vertei ® ungsfunktion bezeichnet. P(X ª 5) = P(X < 5) + P(X = 5) = 0 + 0,15 = 0,15 = 15% P(X ª 6) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0,15 + 0,28 = 0,43 = 43% P(X ª 7) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) = 0,43 + 0,48 = 0,91 = 91% P(X ª 8) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) = 0,91 + 0,06 = 0,97 = 97% P(X ª 9) = P(X < 5) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) = 0,97 + 0,03 = 1 = 100% Vertei ® ungsfunktion Die Vertei ® ungsfunktion F einer diskreten Zufa ®® svariab ® en X ordnet jedem x * Z die Wahrschein ® ichkeit zu, mit der X höchstens den Wert x annimmt. F: Z ¥ [0; 1] mit F(x) = P(X ª x) 751. In der Tabe ®® e ist die Wahrschein ® ichkeitsvertei ® ung einer Zufa ®® svariab ® en X gegeben. x 0 1 2 3 4 5 6 > 6 P(X = x) 0,02 0,20 0,36 0,21 0,11 0,08 0,02 0 a) Mit we ® cher Wahrschein ® ichkeit nimmt die Zufa ®® svariab ® e einen Wert unter 3 an? b) Mit we ® cher Wahrschein ® ichkeit nimmt die Zufa ®® svariab ® e mindestens den Wert 4 an? c) Mit we ® cher Wahrschein ® ichkeit nimmt X mindestens den Wert 1 und höchstens den Wert 4 an? Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv