Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

192 Anwendungen der Differentialrechnung 8 717. a) Entwick ® e das Tay ® orpo ® ynom 5. Grades von f mit f(x) = ® n(x + 1) an der Ste ®® e x = 0. b) Bestimme den Wert von f(0,1) mit Hi ® fe der Tay ® orreihe auf drei Kommaste ®® en genau. c) Zeige, dass man sich dem Wert von f(2) mit Hi ® fe der ersten fünf G ® ieder der Tay ® orreihe nicht annähert. d) Begründe graphisch, warum die Annäherung an f(2) mit der Tay ® orreihenentwick ® ung nicht mög ® ich ist. Kostenfunktion Der funktiona ® e Zusammenhang zwischen der produzierten Menge und den dafür anfa ®® enden Kosten (fix und variabe ® ) wird a ® s Kostenfunktion K bezeichnet. Stückkostenfunktion Die Stückkostenfunktion erhä ® t man, indem man K(x) durch x dividiert: _ K(x) = K(x) _ x . Betriebsoptimum Die Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten _ K am k ® einsten werden, wird a ® s Betriebsoptimum bezeichnet. Kostenkehre Der Übergang von einer degressiven Kostenentwick ® ung zu einem progressiven Kosten- ver ® auf wird a ® s Kostenkehre bezeichnet. Die Kostenkehre ist der Wendepunkt der Kosten- funktion K. Er ® ösfunktion E und Gewinnfunktion G E(x) = p · x p … Verkaufspreis pro Mengeneinheit G(x) = K(x) – E(x) Das Näherungsverfahren von Newton Ist x 0 ein Näherungswert für die Lösung der G ® eichung f(x) = 0, so erhä ® t man unter bestimmten Voraussetzungen durch fo ® gende Iterationsforme ® immer bessere Näherungswerte für die Lösung: x n + 1 = x n – f(x n ) _ f’(x n ) für n * N Tay ® orentwick ® ung von f(x) an der Ste ®® e x = 0 Eine Funktion f kann an der Ste ®® e x = 0 durch ein Tay ® or-Po ® ynom n-ten Grades approximiert werden. f muss an der Ste ®® e x = 0 n-ma ® differenzierbar sein. w f(x) ≈ f(0) + f (1) (0) x + f (2) (0) _ 2! x 2 + f (3) (0) _ 3! x 3 + … + f (n) (0) _ n! x n Break-even-point und Gewinngrenze Der Break-even-point gibt die Produktionsmenge an, ab der das Unternehmen einen Gewinn macht. Die Gewinngrenze gibt die Produktionsmenge an, ab der wieder ein Ver ® ust gemacht wird. zusammenfassung Nur N zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv