Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 191 Anwendungen der Differentialrechnung | Innermathematische Anwendungen In der rechten Spa ® te wurde a ®® gemein herge ® eitet, wie man eine Funktion f schrittweise durch eine Po ® ynomfunktion an der Ste ®® e x 0 = 0 approximieren kann. Man nennt das Po ® ynom der approximierenden Po ® ynomfunktion auch Tay ® or-Po ® ynom . 712. Approximiere die Funktion f durch ein Tay ® orpo ® ynom 5. Grades an der Ste ®® e x 0 = 0. a) f(x) = cos(x) b) f(x) = e x c) f(x) = ® n(x + 0,5) d) f(x) = 9 ___ 1 + x Tay ® orentwick ® ung von f an der Ste ®® e x = 0 Eine Funktion f kann unter bestimmten Bedingungen ausgehend von der Ste ®® e x = 0 durch ein Tay ® or-Po ® ynom n-ten Grades in ihrem gesamten Definitionsbereich approximiert werden. f muss an der Ste ®® e x = 0 n-ma ® differenzierbar sein. w f(x) ≈ f(0) + f’(0)x + f (2) (0) _ 2! x 2 + f (3) (0) _ 3! x 3 + … + f (n) (0) _ n! x n mit n * N ; f n-ma ® differenzierbar Tay ® orreihe Hat man eine Tay ® orentwick ® ung für eine Funktion gefunden, so benötigt man auch für komp ® izierte Funktionen nur mehr die Grundrechenarten um Funktionswerte zu ermitte ® n. Z. B.: sin(x) ≈ x – 1 _ 3! x 3 + 1 _ 5! x 5 – 1 _ 7! x 7 + 1 _ 9! x 9 … Tay ® or-Po ® ynom n-ten Grades Geogebra: Tay ® orReihe[<Funktion>, <x-Wert>, <Grad>] Beispie ® : Tay ® orReihe[sin(x), 0, 5] 713. Approximiere f an der Ste ®® e x = 0 durch ein Tay ® orpo ® ynom 3. Grades und 5. Grades und zeichne den Graphen von f gemeinsam mit den Graphen der zwei Tay ® orpo ® ynome in ein Koordinatensystem. a) f(x) = 2 sin(0,5 x) b) f(x) = 1 _ 1 – x c) f(x) = 1 _ e x d) f(x) = 1 _ 1 – x 2 714. Zeige, dass das Tay ® orpo ® ynom 1. Grades an der Ste ®® e x = 0 der Tangenteng ® eichung an der Ste ®® e 0 entspricht. 715. Berechne den Wert von sin 2 π _ 4 3 mit Hi ® fe einer Tay ® orreihe auf drei Kommaste ®® en genau. Die Tay ® orreihenentwick ® ung von sin(x) ® autet sin(x) ≈ x – 1 _ 6 x 3 + 1 _ 120 x 5 – 1 _ 5 040 x 7 … daher gi ® t: sin 2 π _ 4 3 ≈ π _ 4 – 1 _ 6 2 π _ 4 3 3 + 1 _ 120 2 π _ 4 3 5 – 1 _ 5 040 2 π _ 4 3 7 + … 1. Näherung: sin 2 π _ 4 3 ≈ π _ 4 = 0,785 2. Näherung: sin 2 π _ 4 3 ≈ π _ 4 – 1 _ 6 2 π _ 4 3 3 = 0,70714… 3. Näherung: sin 2 π _ 4 3 ≈ π _ 4 – 1 _ 6 2 π _ 4 3 3 + 1 _ 120 2 π _ 4 3 5 = 0,70710… Da sich die vierte Kommaste ®® e nicht mehr verändert hat, ® autet die Approximation: sin 2 π _ 4 3 ≈ 0,707. 716. Berechne den angegebenen Wert mit Hi ® fe einer Tay ® orreihe auf drei Kommaste ®® en genau. a) sin 2 π _ 6 3 b) e 0,5 c) e ‒3 d) cos 2 π _ 4 3 Techno ® ogie An ® eitung Tay ® or-Po ® ynom sj24q3 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv