Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

190 Anwendungen der Differentialrechnung 8 Mit Hi ® fe dieser Erkenntnis wird nun eine Po ® ynomfunktion p fünften Grades mit p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 gesucht, die sich der Funktion f mit f(x) = sin(x) an der Ste ®® e x 0 = 0 mög ® ichst gut annähert. Approximation von f(x) = sin(x) an der Ste ®® e x 0 = 0 durch eine Po ® ynomfunktion p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 Darste ®® ung der Approximation Approximation von f(x) an der Ste ®® e x 0 = 0 durch eine Po ® ynomfunktion p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 p(x) muss an der Ste ®® e 0 mit sin(x) übereinstimmen: p(0) = sin (0) a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 + a 3 0 3 + a 4 0 4 + a 5 0 5 = sin (0) a 0 = 0 x y 3 6 –6 –3 1 2 – 1 0 f(0) = p(0) f(x) = sin(x) p(x) muss an der Ste ®® e 0mit f(x) übereinstimmen: p(0) = f(0) a 0 + a 1 0 + a 2 0 2 + a 3 0 3 + a 4 0 4 + a 5 0 5 = f(0) a 0 = f(0) Lineare Approximation p’(x) muss an der Ste ®® e 0mit sin’(x) übereinstimmen. p’(0) = sin’(0) = cos(0) a 1 + 2 a 2 · 0 + 3 a 3 · 0 2 + 4 a 4 · 0 3 + 5 a 5 · 0 4 = 1 a 1 = 1 w p 1 (x) = a 0 + a 1 x = 0 + 1 · x = x x y 3 6 –6 –3 1 2 – 1 0 p 1 (x) = p 2 (x) f(x) = sin(x) Lineare Approximation p’(x) muss an der Ste ®® e 0 mit f’(x) übereinstimmen. p’(0) = f’(0) a 1 + 2a 2 ·0 + 3a 3 ·0 2 + 4a 4 ·0 3 + 5a 5 ·0 4 = f’(0) a 1 = f’(0) w p 1 (x) = f(0) + f’(0)x Quadratische Approximation p’’(x) muss an der Ste ®® e 0mit sin’’(x) übereinstimmen. p’’(0) = sin’’(0) = ‒ sin(0) 2·a 2 + 3·2a 3 ·0 + 4·3a 4 ·0 2 + 5·4a 5 ·0 3 = 0 a 2 = 0 _ 2 = 0 w p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = 0 + 1 x + 0 x 2 = x Die quadratische Approximation stimmt in diesem Fa ®® mit der ® inearen überein. Quadratische Approximation p’’(x) muss an der Ste ®® e 0mit f’’(x) übereinstimmen. p’’(0) = f’’(0) 2·a 2 + 3·2a 3 ·0 + 4·3a 4 ·0 2 + 5·4a 5 ·0 3 = = f’’(0) a 2 = f’’(0) _ 2 w p 2 (x) = f(0) + f’(0) x + f’’(0) _ 2 x 2 Approximation 3. Grades p’’’(x) muss an der Ste ®® e 0 mit sin’’’(x) übereinstimmen. p’’’(0) = sin’’’(0) = ‒ cos(0) 3 · 2 · a 3 + 4 · 3 · 2 a 4 · 0 + 5 · 4 · 3 a 5 · 0 2  = ‒1 a 3 = ‒1 _ 3·2 = ‒ 1 _ 6 w p 2 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = x – 1 _ 6 x 3 x y 3 6 –6 –3 1 2 – 1 0 p 1 (x) = p 2 (x) p 3 (x) = p 4 (x) f(x) = sin(x) Approximation 3. Grades p’’’(x) muss an der Ste ®® e 0 mit f’’’(x) übereinstimmen. p’’’(0) = f’’’0 3·2·a 3 + 4·3·2a 4 ·0 + 5·4·3a 5 ·0 2 = f’’’(0) a 3 = f’’’(0) _ 3·2 w p 3 (x) = f(0) + f’(0)x + f’’(0) _ 2 x 2 + f’’’(0) _ 3·2 x 3 Approximation 4. Grades Statt f’’’’(x) wird f (4) (x) geschrieben. Da sin (4) (0) = sin(0) = 0 gi ® t: a 4 = 0 … (ana ® og zur quadratischen Approximation) Approximation 4. Grades p (4) (x) muss an der Ste ®® e 0 mit f (4) (x) übereinstimmen. p (4) (0) = f (4) (0) 4 ·3 ·2 a 4 + 5 ·4 ·3 ·2 ·a 5 ·0 = f (4) (0) a 4 = f (4) (0) _ 4·3·2 w p 4 (x) = f(0) + f (1) (0) x + f (2) (0) _ 2 x 2 + f (3) (0) _ 3·2 x 3 + + f (4) (0) _ 4·3·2 x 4 Approximation 5. Grades p (5) (x) muss an der Ste ®® e 0 mit sin (5) (x) übereinstimmen. p (5) (0) = sin (5) (0) = cos (0) 5 · 4 · 3 · 2 a 5 = 1 a 5 = 1 __ 5·4·3·2 = 1 _ 120 w p 5 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 = = x – 1 _ 6 x 3 + 1 _ 120 x 5 x y 3 6 –6 –3 1 2 – 1 0 p 3 (x) = p 4 (x) p 5 (x) p 1 (x) = p 2 (x) f(x) = sin(x) Approximation 5. Grades p (5) (x) muss an der Ste ®® e 0mit f (5) (x) übereinstimmen. p (5) (0) = f (5) (0) 5 ·4 ·3 ·2 a 5 = f (5) (0) a 5 = f (5) (0) __ 5·4·3·2 w p 5 (x) = f(0) + f (1) (0)x + f (2) (0) _ 2 x 2 + f (3) (0) _ 3·2 x 3 + + f (4) (0) _ 4·3·2 x 4 + f (5) (0) __ 5·4·3·2 x 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum 6 des Verlags a öbv