Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

189 Anwendungen der Differentialrechnung | Innermathematische Anwendungen Tay ® or-Po ® ynome Wi ®® man den Wert von sin 2 π _ 4 3 berechnen, so nimmt man üb ® icherweise einen Taschenrechner zur Hand, tippt „ sin 2 π _ 4 3 “ ein und erhä ® t umgehend das Ergebnis. Die Sinusfunktion gibt im Interva ®® 4 0; π _ 2 5 ein Seiten- verhä ® tnis in einem rechtwinke ® igen Dreieck an. Es ist aber kaum vorste ®® bar, dass der TR intern ein Dreieck zeichnet, die entsprechenden Seiten ® ängen abmisst und daraus den Wert von sin 2 π _ 4 3 berechnet. Es ist auch nicht vorste ®® bar, dass ein TR a ®® e Sinuswerte abgespeichert hat und intern aus einer ® angen Liste den entsprechenden Wert auswäh ® t. Ein Taschenrechner würde dazu näm ® ich unend ® ich vie ® Speicherp ® atz benötigen. Die Lösung ® iegt in geeigneten Approximationen. Vie ® e mathematische Programme benutzen eine Po ® ynomfunktion, die eine so genaue Annäherung (Näherungswert) für den entsprechenden Sinuswert ® iefert, dass er im Rahmen der Taschenrechnergenauigkeit mit dem echten Sinuswert übereinstimmt. Da man mit Po ® ynomfunktionen zah ® reiche mathematische Operationen einfach durchführen kann, ist es in vie ® en Tei ® en der Mathematik und der Technik wichtig, komp ® izierte Funktionen durch Po ® ynomfunktionen zu approximieren. Die Grundidee ® iefert das fo ® gende Beispie ® . 709. a) Gesucht ist eine ® ineare Funktion p 1 , die an der Ste ®® e x 0 = 2mit f(x) = 0,5 x 3 – 4 x + 2 im Funktionswert und in der Steigung übereinstimmt. Für die gesuchte ® ineare Funktion p 1 muss ge ® ten: p 1 (2) = f(2) und p 1 ’(2) = f’(2). Sie entspricht der Tangente von f im Punkt P = (2 1 ‒ 2): p 1 (x) = 2 x – 6. b) Gesucht ist eine Funktion 2. Grades p 2 , die an der Ste ®® e x 0 = 2 mit f(x) = 0,5 x 3 – 4 x + 2 im Funktionswert, in der Steigung und in der Krümmung übereinstimmt. Für die gesuchte quadratische Funktion p 2 mit p 2 (x) = a x 2 + b x + c muss ge ® ten: p 2 (2) = f(2), p 2 ’(2) = f’(2) und p 2 ’’(2) = f’’(2). Das führt zum G ® eichungssystem: I: 4 a + 2 b + c = ‒ 2; II: 4 a + b = 2; III: 2 a = 6 w p 2 (x) = 3 x 2 – 10 x + 6 Man erkennt in der Abbi ® dung, dass in der Nähe des Punktes P der Graph von p 2 schon sehr gut mit dem Graphen von f übereinstimmt. Eine Po ® ynomfunktion p(x) approximiert eine Funktion f(x) an einer Ste ®® e x 0 umso besser, je mehr Ab ® eitungen von p(x) und f(x) an der Ste ®® e x 0 übereinstimmen. 710. Bestimme eine quadratische Po ® ynomfunktion p 2 , die mit f an der Ste ®® e x 0 einen Punkt gemeinsam hat und an dieser Ste ®® e mit f in erster und zweiter Ab ® eitung übereinstimmt. Zeichne die Graphen von p 2 und f in ein gemeinsames Koordinatensystem. a) f(x) = 0,125 x 3 – 2 x + 3; x 0 = 2 b) f(x) = ‒ x 3 – x 2 + 5 x + 3; x 0 = 0 711. Bestimme eine Po ® ynomfunktion dritten Grades p 3 , die mit f an der Ste ®® e x 0 einen Punkt gemeinsam hat und an dieser Ste ®® e mit f in erster, zweiter und dritter Ab ® eitung überein- stimmt. Zeichne die Graphen von p 3 und f in ein gemeinsames Koordinatensystem. a) f(x) = ‒ 0,5 x 4 – x 3 + x 2 + 2 x + 3; x 0 = ‒ 2 b) f(x) = ‒1,5 x 3 + x 2 + 2 x + 3; x 0 = 3 Brook Tay ® or 1685 –1731 muster x y 1 2 3 4 –2 – 1 2 4 6 –4 –2 0 f p 1 P x y 1 2 3 4 –2 – 1 2 4 6 –4 –2 0 f p 1 p 2 P Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv