Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 188 Anwendungen der Differentialrechnung 8 Das Näherungsverfahren von Newton Ist x 0 ein Näherungswert für die Lösung der G ® eichung f(x) = 0, so erhä ® t man (unter bestimmten Voraussetzungen) durch fo ® gende Iterationsforme ® immer bessere Näherungs- werte für die Lösung: x n + 1 = x n – f(x n ) _ f’(x n ) für n * N . Bemerkung: f(x) muss für a ®® e Ste ®® en x n differenzierbar sein und es muss ge ® ten: f’(x n ) ≠ 0. 701. Bestimme die ree ®® e Lösung der G ® eichung x 3 – 7 = 0 auf fünf Dezima ® ste ®® en genau. A ® s erster Näherungswert für die Lösung der G ® eichung wird x 0 = 2 gewäh ® t. Aus obiger Forme ® ergibt sich mit f(x) = x 3 – 7 und f’(x) = 3 x 2 für den nächsten Näherungswert x 1 : x 1 = x 0 – f(x 0 ) _ f’(x 0 ) = 2 – 1 _ 12 = 1,916666… Ebenso ergibt sich aus x 1 der nächste Näherungswert: x 2 = x 1 – f(x 1 ) _ f’(x 1 ) = 1,9129384… w x 3 = x 2 – f(x 2 ) _ f’(x 2 ) = 1,9129311 Da sich die fünfte Kommaste ®® e nicht mehr verändert hat, erhä ® t man bereits nach drei Schritten a ® s Näherungs ® ösung der G ® eichung x ≈ 1,912 93. 702. Bestimme mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens die einzige re ®® e Lösung der G ® eichung auf drei Dezima ® ste ®® en genau. a) x 3 – 2 x 2 + 2 x – 3 = 0 c) x 3 + 3 x 2 + 5 = 0 e) x 3 – 3 = 0 b) ‒ 2 x 3 + 2 x – 3 = 0 d) x 3 + 2 x 2 – 3 = 0 f) x 3 + 2 = 0 703. Bestimme eine Lösung der G ® eichung auf drei Dezima ® ste ®® en genau. a) cos(x) = x 3 b) e x = 3 c) sin(x) = x 2 d) ® n(x) = 3 704. Versuche die G ® eichung x 3 + 2 x 2 – 2 = 0mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens zu ® ösen. a) Beginne mit dem Startwert x 0 = 1. b) Begründe, warum das Verfahren mit dem Startwert x 0 = 0 nicht funktioniert. 705. Bestimme mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens die Nu ®® ste ®® e der Funktion f mit f(x) = x 5 + x 4 – 2 x 3 + x 2 + x + 10 auf vier Dezima ® ste ®® en genau. a) Beginne mit dem Startwert x 0 = ‒ 2. b) Begründe graphisch und rechnerisch, warum der Startwert x 0 = 1 ungeeignet ist. 706. Jemand möchte die G ® eichung x 2 – 5 = 0mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens ® ösen. Bei we ® chem Startwert würde das Newton-Verfahren nicht funktionieren? Begründe deine Antwort. 707. a) Zeige, dass man sich mit Hi ® fe der Rekursionsforme ® x n + 1 = 1 _ 2 2 x n + 2 _ x n 3 dem Wert für 9 _ 2 auf vier Ste ®® en genau annähern kann. Wäh ® e a ® s Startwert x 0 = 1. b) Zeige mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens, dass man sich dem Wert von 9 _ a für a > 0mit Hi ® fe fo ® gender Rekursionsforme ® annähern kann: x n + 1 = 1 _ 2 2 x n + a _ x n 3 . c) Ermitt ® e eine Rekursionsforme ® , mit der man sich dem Wert von 3 9 _ a annähern kann. Die Funktion f(x) = x 2 – a besitzt a ® s einzige positive Nu ®® ste ®® e den Wert x = 9 _ a. 708. Christoph so ®® eine G ® eichung mit Hi ® fe des Newton-Verfahrens ® ösen. Er verrechnet sich zweima ® bei der Berechnung eines Näherungswertes und erhä ® t trotzdem die richtige Lösung. Ist das Zufa ®® ? muster TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv