Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

187 kompe- tenzen 8.4 Innermathematische Anwendungen Lernzie ® e: º Das Newton’sche Näherungsverfahren anwenden können º Die Tay ® orentwick ® ung einer Funktion an einer Ste ®® e x = 0 berechnen können Im Fo ® genden werden mathematische Methoden beschrieben, mit deren Hi ® fe man Zah ® en oder Funktionswerte näherungsweise berechnen kann. Da Taschenrechner oder Computer im Grunde genommen nur Grundrechnungsarten durchführen können, ermög ® ichen erst derartige Näherungsverfahren komp ® izierte Berechnungen. Dieser Abschnitt ® iefert a ® so auch Einb ® icke in die Funktionsweise von Taschenrechnern und A ® gebraprogrammen. Das Newton’sche Näherungsverfahren Lineare und quadratische G ® eichungen ® assen sich durch Äquiva ® enzumformungen und Lösungsforme ® n exakt ® ösen. In der mathematischen Praxis jedoch sind die a ®® ermeisten G ® eichungen vie ® komp ® izierter und oft nicht exakt ® ösbar. Das Näherungsverfahren von Newton ® iefert (unter bestimmten Voraussetzungen) be ® iebig genaue Lösungen einer G ® eichung. D. h. man kann zwar nicht die exakte G ® eichungs ® ösung bestimmen, aber man kann je nach Be ® ieben die Lösung auf z. B. 4, 10 oder 100 Dezima ® - ste ®® en genau berechnen. Das Näherungsverfahren beruht darauf, dass jede Lösung der G ® eichung f(x) = 0 auch a ® s Nu ®® ste ®® e der Funktion f interpretiert werden kann. Der Nu ®® ste ®® e kann man sich auf fo ® gende Weise annähern: Man bestimmt einen Ausgangwert x 0 in der Nähe der Nu ®® ste ®® e x N . Diese Ste ®® e darf keine Extremste ®® e von f sein. Zeichnet man nun im dazugehörigen Punkt P 0 = (x 0 1 f(x 0 ) die Tangente von f ein, so schneidet die Tangente an der Ste ®® e x 1 die x-Achse. x 1 ® iegt näher an der gesuchten Nu ®® ste ®® e x N und ist daher ein besserer Näherungswert für die Nu ®® ste ®® e x N a ® s der Ausgangswert x 0 . Führt man dieses Verfahren mit x 1 a ® s Ausgangswert durch, so erhä ® t man x 2 , einen noch besseren Näherungswert für x N a ® s x 1 . Durch weitere Wiederho ® ungen kann man die Nu ®® ste ®® e x N be ® iebig genau annähern. Aus oberer Abbi ® dung kann man fo ® genden Zusammenhang für die Steigung k 0 der Tangente in P 0 ab ® esen: k 0 = f’(x 0 ) = f(x 0 ) _ x 0 – x 1 . Für den ersten Näherungswert erhä ® t man durch Umformung: x 1 = x 0 – f(x 0 ) _ f’(x 0 ) . Ana ® og erhä ® t man für den zweiten Näherungswert: x 2 = x 1 – f(x 1 ) _ f’(x 1 ) . Durch Wiederho ® ung (Iteration) erhä ® t man immer bessere Näherungswerte für x N . x f(x) 0 P 0 = (x 0 1 f(x 0 )) f(x 0 ) x 0 x 1 x N x 0 – x 1 f Tangente in P 0 x f(x) 0 f x N x 1 Tangente in P 1 x 2 f(x 1 ) P 1 = (x 1 1 f(x 1 )) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv