Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

186 kompe- tenzen 8.3 Extremwertaufgaben Lernzie ® : º Extremwertaufgaben unter Verwendung der Ketten-, Produktrege ® oder Quotientenrege ® ® ösen können Im Fo ® genden werden komp ® exere Extremwertaufgaben behande ® t, deren Zie ® funktionen mithi ® fe der Ketten-, Produkt- bzw. Quotientenrege ® differenziert werden müssen. 696. Einem Kreis mit dem Radius r so ®® ein g ® eichschenk ® iges Dreieck so umschrieben werden, dass sein F ® ächeninha ® t mög ® ichst k ® ein wird. Bestimme die Seiten ® ängen dieses Dreiecks. Die Basis des Dreiecks wird mit 2 x, dessen Höhe mit y bezeichnet. Die Schenke ®® änge des Dreiecks ist s. Für die Hauptbedingung (HB) gi ® t: A = 2 x · y _ 2 = x · y. Da die Dreiecke BCH 1 und CMH 2 ähn ® ich sind, kommt a ® s Nebenbedingung (NB) der Strah ® en- satz zur Anwendung: s : x = (y – r) : r Für s gi ® t: s = 9 ____ x 2 + y 2 w 9 ____ x 2 + y 2 : x = (y – r) : r w (x 2 + y 2 ) : x 2 = (y – r) 2 : r 2 r 2 (x 2 + y 2 ) = x 2 (y – r) 2 w r 2 x 2 + r 2 y 2 = x 2 (y – r) 2 w r 2 y 2 = x 2 [(y – r) 2 – r 2 ] w x 2 = r 2 y 2 __ y 2 – 2 r y Nach dem Kürzen der NB ergibt sich x 2 = r 2 y _ y – 2 r . Die HB wird quadriert und für x 2 der Term der NB eingesetzt: A 2 (y) = f(y) = r 2 y 3 _ y – 2 r . Anwenden der Quotientenrege ® : f’(y) = 3 r 2 y 2 (y – 2 r) – r 2 y 3 ___ (y – 2 r) 2 = 2 r 2 y 3 – 6 r 3 y 2 __ (y – 2 r) 2 f’(y) = 0 w 2 r 2 y 2 (y – 3 r) = 0 w y = 3 r x 2 = r 2 y _ y – 2 r w x 2 = 3 r 3 _ r = 3 r 2 w x = r 9 _ 3 Da f’’(3 r) > 0 (Techno ® ogie), hande ® t es sich um ein ® oka ® es Minimum. Für s gi ® t: s = 9 ____ x 2 + y 2 = 9 _____ 3 r 2 + 9 r 2 = 9 ___ 12 r 2 = 2 r 9 _ 3 Das Dreieck ist g ® eichseitig mit der Seiten ® änge 2 r 9 _ 3. 697. Gegeben ist ein Ha ® bkreis mit dem Radius r. Diesem Ha ® bkreis wird ein g ® eichschenk ® iges Dreieck so umschrieben, dass sein F ® ächeninha ® t mög ® ichst k ® ein wird. Bestimme die Seiten ® ängen dieses Dreiecks. 698. Ein Sektg ® as hat die Form eines geraden Drehkege ® s, dessen Seiten ® inie s Zentimeter ® ang ist. Bestimme den Öffnungswinke ® 2 φ dieses Drehkege ® s so, dass der Rauminha ® t maxima ® wird. 699. Aus drei b Zentimeter breiten Brettern so ®® eine Wasserrinne mit einer trapezförmigen Querschnittsf ® äche so hergeste ®® t werden, dass die Querschnittsf ® äche der Rinne mög ® ichst groß wird. Bestimme das Maß des Winke ® s α , unter dem die Seitenwände der Rinne dabei gegen die Grundf ® äche geneigt sein müssen. 700. Bestimme die Seiten ® ängen des Rechtecks, das bei gegebenem F ® ächeninha ® t A den k ® einsten Umfang besitzt. muster x x y C M H 2 H 1 s s r r r x y r s φ h r Arbeitsb ® att Extremwert- aufgaben mit besonderen Ab ® eitungsrege ® n ak2fi4 b b b α x s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv