Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

185 Anwendungen der Differentialrechnung | Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin 691. K(t) = 3 _ 40 t 3 – 9 _ 10 t 2 + 5 _ 3 t + 6 mode ®® iert die Konzentration eines Medikaments (in m ® / ® ) im B ® ut eines Patienten nach t Stunden. Das Medikament wurde zum Zeitpunkt t = 0 verabreicht. a) Bestimme eine geeignete Definitionsmenge für K. b) Bestimme, nach wievie ® Stunden die Abbaugeschwindigkeit am größten ist. c) Beschreibe den Zustand der Medikamentenkonzentration nach einer ha ® ben Stunde mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung. Verwende dabei die Werte von K(t), K’(t) und K’’(t). 692. Wenn Wasser in einem gesch ® ossenen System verdampft, ste ®® t sich nach einiger Zeit ein G ® eichgewicht zwischen Wasserdampf und f ® üssigem Wasser ein. Der Dampfdruck p in Bar (bar) gibt den Druck des Wasserdampfs in diesem Zustand an. Er hängt von der Temperatur T in Ke ® vin (K) ab und kann durch fo ® gende Funktion näherungsweise beschrieben werden: p(T) = 2,52 ·10 6 · e ‒ 5418 _ T . a) Zeichne den Graphen von p(T) im Interva ®® [0; 300]. b) Bestimme p’(290) und interpretiere den erha ® tenen Wert. c) Interpretiere den Wert von p’’(290). d) Bestimme die Vorzeichen von p’(T) und p’’(T). Was sagen die Vorzeichen über p(T) aus? 693. Mit Hi ® fe eines Kondensators kann man in einem G ® eichstromkreis e ® ektrische Ladungen speichern. Während des Auf ® adevorganges gi ® t für die e ® ektrische Ladung Q in Cou ® omb (C) zum Zeitpunkt t º 0 in Sekunden (s): Q(t) = 1,2 ·10 ‒3 · (1 – e ‒ t _ 5 ). Die Stromstärke I(t) wird in Ampere (A) gemessen und gibt die Änderungsgeschwindigkeit der e ® ektrischen Ladung an. a) Berechne I(t) und zeichne den Graphen der Stromstärke. b) Interpretiere die Bedeutung von Q’’(t) im Kontext. c) Interpretiere die Vorzeichen von Q(t), Q’(t) und Q’’(t). d) Kreuze die für den Kontext zutreffende(n) Aussage(n) an. 694. Hängt eine Masse an einer Spira ® feder, so spricht man von einem Federpende ® . Stößt man dieses an, so schwingt es im Idea ® fa ®® harmonisch senkrecht auf und ab. Die Aus ® enkung s eines Federpende ® s von der Ruhe ® age in Meter kann mit fo ® gendem Zusammenhang beschrieben werden: s(t) = 0,2 · sin( ω · t) mit ω = 2 π f. t ist die Zeit in Sekunden (s) und f die Anzah ® der Schwingungen pro Sekunde (Frequenz). 1) Bestimme die Funktionsg ® eichung eines Pende ® s, das 3-ma ® pro Sekunde schwingt. 2) Berechne die maxima ® e Aus ® enkung des Pende ® s von der Ruhe ® age. 3) Zeichne den Graphen von s(t) und s’(t) für die ersten zwei Sekunden in ein Koordinaten- system und interpretiere den Ver ® auf der beiden Graphen im Kontext. 4) Bestimme s’’(1) und interpretiere den erha ® tenen Wert. 695. Besch ® eunigt ein Körper mit der Masse m (in kg) aus der Ruhe ® age mit der Besch ® eunigung a (in m/s 2 ) so besitzt er nach t Sekunden die Energie E(t) = ma 2 _ 2 t 2 in Jou ® e (J). Die momentane Veränderung der Energie mit der Zeit nennt man Leistung P. Sie wird in Watt (W) angegeben. a) Bestimme eine Forme ® für P und beschreibe die Abhängigkeit der Leistung von m, a und t. b) Ein Körper mit 5 kg Masse besch ® eunigt mit einer konstanten Besch ® eunigung von 10m/s 2 . Bestimme E’(3) und E’’(3) und interpretiere die erha ® tenen Werte. c) Ein Körper besch ® eunigt konstant im Zeitinterva ®® t * [0; 4]. Berechne die durchschnitt ® iche Leistung und verg ® eiche sie mit der momentanen Leistung in der Mitte des Interva ®® s. Arbeitsb ® att Natur- wissenschaft ® iche Anwendungen 3n7324 A Q’(t) = I(t)  B I’(t) = Q’’(t)  C Q(t) > 0  D Q(0) = 0  E Q(‒1) ist nicht definiert.  Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv