Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

184 Anwendungen der Differentialrechnung 8 Beispie ® : p’’(500) = 0,5 Pa/m 2 Interpretation: In 500m Höhe ändert sich die Änderungsgeschwindigkeit des Druckes um 0,5Pa/m pro Meter. In 500m Höhe nimmt die Änderungsgeschwindigkeit des Druckes pro Meter um 0,5 Pa/m zu. Würde p’’(h) konstant 0,5 Pa/m 2 sein, so würde für p’(500) = ‒ 3 Pa/m Fo ® gendes ge ® ten: p’(500) = ‒ 3 Pa/m, p’(501) = ‒ 2,5 Pa/m; p’(502) = ‒ 2 Pa/m; p’(504) = ‒1 Pa/m u. s.w. 687. 1) Interpretiere die Bedeutung der ersten und zweiten Ab ® eitung der angegebenen Funktion. 2) Bestimme, wenn mög ® ich, die Werte und passenden Einheiten von a, b, c, d und e. a) n(t) beschreibt die Virenanzah ® nach t Stunden. n’(t) = 4; n(4) = 500; n(5) = a; n(6) = b; n(10) = c; n’(7) = d; n’’(4) = e b) n(t) beschreibt die Virenanzah ® nach t Sekunden. n’’(t) = ‒ 300; n’(4) = 5 000; n’(5) = a; n’(3) = b; n’’(4) = c; n(4) = e c) T(h) beschreibt die Temperatur (in °C) in der Höhe h (in m). T’(h) = ‒ 0,1; T(300) = 15; T’(400) = a; T(310) = b; T’’(300) = c; T(299) = d d) p(h) beschreibt den Druck p in der Einheit Pasca ® (Pa) in der Höhe h in Meter (m). p(h) = 1 000; p’(2 000) = a; p’’(1 000) = b; p(200) = c 688. 1) Interpretiere die Bedeutung der ersten und zweiten Ab ® eitung der angegebenen Funktion. 2) Bestimme, wenn mög ® ich, die Werte a, b, c und d und gib sie in den passenden Einheiten an. a) v(t) beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers in km/h nach t Sekunden. v(5) = 50; v’(t) = 2; v(6) = a; v’’(t) = b; v’(6) = c; v’’’(t) = d b) B(r) gibt die Be ® euchtungsstärke in Lux ( ® x) im Abstand r Meter von einer Lichtque ®® e an. B’’(r) = ‒10; B’(2) = 20; B(10) = a; B’(1) = b; B’’(3) = c; B’’’(4) = d Anwendungsaufgaben 689. Die Anzah ® N der Bakterien in einer Bakterienku ® tur nach t Minuten kann durch N(t) = 80 · e 0,029·t , t * [0; 24], mode ®® iert werden. a) Beschreibe den Zustand der Bakterienku ® tur nach 20 Minuten. Verwende dabei die entsprechenden Werte von N(t), N’(t) und N’’(t). b) Bestimme das Monotonieverha ® ten von N und interpretiere es. c) Bestimme das Monotonieverha ® ten von N’ und interpretiere es. d) Interpretiere das Monotonieverha ® ten von N’’. 690. Das Robert-Ke ®® ner-Institut in Wien hat den Ver ® auf einer ansteckenden Krankheit untersucht. Die Anzah ® der Erkrankten N nach t Tagen kann näherungsweise durch fo ® genden Zusammenhang dargeste ®® t werden: N(t) = ‒ 1 _ 25 t 3 + t 2 . a) Die Mode ®® ierung ® iefert für a ®® e Tage, an denen es mehr a ® s 30 Erkrankte gibt, gute Resu ® tate. Bestimme die Definitionsmenge von N(t). b) Bestimme, an we ® chem Tag die meisten Personen erkrankt sind, und gib die Höchstzah ® der Erkrankten an. c) Bestimme das Krümmungsverha ® ten von N(t) an der Ste ®® e t = 10 und interpretiere es. d) Wann ist die Zunahme der Erkrankungen am stärksten? e) Bestimme, in we ® chem Interva ®® die Erkrankungsrate (Erkrankungsgeschwindigkeit) negativ ist, und interpretiere das Ergebnis. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv