Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

183 kompe- tenzen 8.2 Anwendungen aus Naturwissenschaft und Medizin Lernzie ® e: º Die erste und zweite Ab ® eitung im Kontext interpretieren können º Naturwissenschaft ® iche Zusammenhänge mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung untersuchen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 1.3 Den Differenzen und Differentia ® quotienten in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverha ® te durch Differenzen- und Differentia ® quotienten beschreiben können Zusammenhänge zwischen naturwissenschaft ® ichen Größen werden oft mit Funktionen beschrieben. Daher wird die Differentia ® rechnung in den Naturwissenschaften auch zur Unter- suchung so ® cher Zusammenhänge eingesetzt. Besondere Bedeutung hat dabei die Berech- nung momentaner Änderungsraten, da diese durch Messung nicht bestimmt werden können. Interpretation der ersten Ab ® eitung Bei der Interpretation der ersten Ab ® eitung einer Funktion in einem bestimmten Kontext hi ® ft es, wenn man sich zunächst die Einheit der Änderungsrate mit Hi ® fe der Leibniz’schen Schreibweise über ® egt und diese dann mit dem Wort „pro“ ausdrückt. p(h) beschreibt den Druck p in der Einheit Pasca ® (Pa) in der Höhe h in Meter (m). p’(h) = dp _ dh besitzt daher die Einheit Pa _ m = „Pasca ® pro Meter“. p’(h) kann auf zwei Arten interpretiert werden: – p’(h) gibt die momentane Änderung des Druckes pro Meter in der Einheit Pa/m an. – p’(h) gibt die momentane Änderungsgeschwindigkeit des Druckes in Pa/m an. Beispie ® : p’(500) = ‒ 3 Pa/m Interpretation: In 500m Höhe beträgt die (momentane) Druckänderung ‒ 3 Pa/m. In 500m Höhe nimmt der Druck (momentan) um 3 Pa pro m ab. In 500m Höhe beträgt die (momentane) Änderungsgeschwindigkeit des Druckes ‒ 3 Pa/m. Würde p’(h) konstant ‒ 3 Pa/m sein, so würde für p(500) = 1 000 Pa Fo ® gendes ge ® ten: p(500) = 1 000 Pa, p(501) = 997Pa; p(502) = 994 Pa; p(504) = 988 Pa u. s.w. Interpretation der zweiten Ab ® eitung Die Interpretation der zweiten Ab ® eitung einer Funktion ist meist etwas komp ® izierter, wei ® durch sie immer die Änderung einer Änderung beschrieben wird. Da es sich bei der zweiten Ab ® eitung um die momentane Änderung der „Änderungsgeschwindigkeit“ mit der Höhe hande ® t, besitzt sie die Einheit Pa _ m _ m = Pa _ m 2 = Pa ·m ‒2 („Pasca ® pro Meter Quadrat“). p’’(h) gibt die momentane Veränderung der Änderungsgeschwindigkeit in Pa/m 2 an. Nur zu Prüfzwecke – Eigentum des Verlags öbv