Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 182 Anwendungen der Differentialrechnung 8 681. Die Kostenfunktion eines Betriebs wird durch K(x) = 20x + 3000 mode ®® iert. Pro Stück wird ein Verkaufspreis von 50GE erzie ® t. Bestimme die Er ® ösfunktion und die Gewinnschwe ®® e. Für die Er ® ösfunktion gi ® t: E(x) = 50 x. Die Berechnung der Gewinnsche ®® e erfo ® gt durch G ® eichsetzen der Kosten- und der Er ® ösfunktion: 50 x = 20 x + 3 000 w x = 100. Bei einem Absatz von über 100 Stück macht man Gewinn. Der Graph von E ver ® äuft dann oberha ® b des Graphen von K. 682. Bestimme den Break-even-point und ste ®® e die Funktionen K und E graphisch dar. a) K(x) = 30 x + 1 000; E(x) = 40 x c) K(x) = 1,5 x + 100; E(x) = 2,5 x b) K(x) = 35 x + 2 000; E(x) = 55 x d) K(x) = 0,5 x + 150; E(x) = 2 x 683. mp3-P ® ayer werden für einen Preis von 80€ pro Stück verkauft. Pro P ® ayer fa ®® en Kosten in Höhe von 30€ an, die Verwa ® tungs- kosten und sonstige Fixkosten betrugen in der vergangenen Produktionsperiode 3 000€. Ab we ® cher Produktions- und Absatz- menge macht der Betrieb einen Gewinn? 684. Die Fixkosten bei der Produktion von Müs ® iriege ® n betragen 850 000€ pro Jahr. Pro Riege ® ka ® ku ® iert man Kosten in der Höhe von 0,25€. Im Hande ® wird ein Riege ® für 0,45€ angeboten. Berechne die Gewinnschwe ®® e und den dabei erzie ® ten Er ® ös. Eine Kostenfunktion K vom Grad > 1 wird in der Rege ® von der Er ® ösfunktion E zweima ® geschnitten. Die erste Schnittste ®® e gibt die Gewinnschwe ®® e an, die zweite Ste ®® e die Produktionsmenge, bei der das Unternehmen wieder in den Ver ® ustbereich rutscht. Diese Ste ®® e wird a ® s Gewinngrenze bezeichnet. Die Ste ®® en der ® inearen Kostenfunktion K, die diese ® be Steigung wie die Er ® ösfunktion E haben, d. h. an denen E’(x) = p = K’(x) gi ® t, geben die Produktionsmengen an, bei denen der größte Ver ® ust bzw. der größte Gewinn erzie ® t wird. Gewinngrenze Die Gewinngrenze gibt die Produktionsmenge an, ab der wieder ein Ver ® ust gemacht wird. 685. Berechne für die gegebene Kostenfunktion K und die Er ® ösfunktion E 1) die Gewinnschwe ®® e und die Gewinngrenze 2) die Mengen, bei denen der maxima ® e Gewinn erzie ® t wird. a) K(x) = 3 x 2 + 100 x + 7500; E(x) = 475 x c) K(x) = 0,1 x 2 + 5 x + 40; E(x) = 10 x b) K(x) = 0,1 x 2 + 50 x + 490; E(x) = 100 x d) K(x) = 0,04 x 2 + 4 x + 250; E(x) = 15 x 686. Berechne für die gegebene Kostenfunktion K und die Er ® ösfunktion E 1) die Gewinnschwe ®® e und die Gewinngrenze sowie 2) die Menge, bei denen der maxima ® e Gewinn erzie ® t wird. a) K(x) = x 3 – 6,2 x 2 + 17x + 27; E(x) = 38,8 x b) K(x) = 0,1 x 3 – x 2 + 4 x + 5; E(x) = 4 x Die Gewinnschwe ®® e wird bei nicht ganzzah ® igen Ergebnissen immer aufgerundet, die Gewinngrenze immer abgerundet. muster x K(x), E(x) 40 80 120 160 –40 2 000 4 000 6 000 0 K E Break- even- point x in ME E(x), K(x) in GE K(x) E(x) größter Verlust Gewinn- schwelle optimale Menge Gewinn- grenze + – Arbeitsb ® att Funktionen aus der Wirtschaft pd6j7k TIPP Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des b Verlags öbv