Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 181 Anwendungen der Differentialrechnung | Anwendungen aus der Wirtschaft 677. Bestimme die Kostenkehre für die Kostenfunktion K. a) K(x) = 1 _ 1 200 x 3 – 1 _ 4 x 2 + 40 x + 7000 c) K(x) = 0,02 x 3 – 3 x 2 + 180 x + 1 500 b) K(x) = 0,0 002 x 3 – 0,12 x 2 + 35 x + 5 000 d) K(x) = 0,05 x 3 – 0,3 x 2 + 5 x + 30 678. Für die Produktion von x Stück gi ® t für die Kosten der Zusammenhang K(x) = 0,2 x 2 + 50 x + 8 000. Es können höchstens 300ME in einer bestimmten Zeit erzeugt werden. Begründe graphisch und mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung, dass sich die Kosten progressiv entwicke ® n. Die graphische Darste ®® ung ® ässt erkennen, dass sich bei größer werdender Produktionsmenge die Kosten progressiv entwicke ® n. Es gi ® t außerdem: K’(x) = 0,4 x + 50 bzw. K’’(x) = 0,4 > 0. Da K’’(x) für a ®® e Produktionsmengen des Definitionsbereichs positiv ist, nehmen die Kosten K(x) mit größer werdendem x überproportiona ® zu, d. h. die Kosten entwicke ® n sich progressiv. 679. Für die Produktion von xME gi ® t für die Kosten der Zusammenhang K(x). Es können höchstens 300ME in einer bestimmten Zeit erzeugt werden. Begründe graphisch und mit Hi ® fe der Differentia ® rechnung, dass die Kostenentwick ® ung progressiv ist. a) K(x) = 0,1 x 2 + 30 x + 5 000 b) K(x) = 0,05 x 2 + 80 x + 10 000 680. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Bestimme die Kostenkehre und zeige, dass für Produk- tionsmengen unterha ® b der Kostenkehre sich die Kosten degressiv und darüber progressiv entwicke ® n. a) K(x) = 0,02 x 3 – 1,2 x 2 + 20 x + 100 b) K(x) = 0,05 x 3 – 1,2 x 2 + 15 x + 120 Er ® ösfunktion und Gewinnfunktion Werden x produzierte Mengeneinheiten einer Ware um p Ge ® deinheiten pro Stück verkauft, kann der dadurch erzie ® bare Er ® ös durch die Er ® ösfunktion E mit E(x) = p · x beschrieben werden. Ein Gewinn wird erzie ® t, wenn der Er ® ös größer a ® s die Gesamtkosten ist, d. h. E(x) – K(x) > 0, ansonsten entsteht ein Ver ® ust. Die Menge, bei der der Er ® ös gerade so groß ist, dass kein Ver ® ust entsteht (d. h. für die gi ® t E(x) = K(x)), heißt Gewinnschwe ®® e oder Break-even-point . Die Differenz von Er ® ös- und Kostenfunktion ste ®® t die Gewinnfunktion G mit G(x) = E(x) – K(x) dar. Er ® ösfunktion E / Gewinnfunktion G / Break-even-point Ist p der Verkaufspreis pro Mengeneinheit und K die Kostenfunktion, gi ® t: E(x) = p · x G(x) = K(x) – E(x) Der Break-even point (Gewinnschwe ®® e) gibt die Produktionsmenge an, ab der das Unter- nehmen einen Gewinn macht. muster x K(x) 50 100 150 200 250 300 8000 16000 24000 32000 40000 0 K Nur u Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv