Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke Merke 180 Anwendungen der Differentialrechnung 8 Bei nicht ® inearen Kostenfunktionen gi ® t im A ®® gemeinen nicht, dass die Stückkosten (Durch- schnittskosten) bei wachsender Produktionsmenge immer k ® einer werden. Vie ® mehr können sie bis zu einer bestimmten Produktionsmenge sinken, danach jedoch wieder steigen. Die Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten am k ® einsten sind, wird a ® s Betriebsoptimum bezeichnet. Betriebsoptimum Die Produktionsmenge x, bei der die Stückkosten _ K am k ® einsten sind, wird a ® s Betriebs- optimum bezeichnet. 675. Bestimme das Betriebsoptimum, wenn die Gesamtkosten durch K(x) = 0,05 x 2 + 20 x + 312 500 mode ®® iert werden. Gib auch die minima ® en Stückkosten an. Für die Stückkostenfunktion gi ® t: _ K(x) = 0,05 x 2 + 20 x + 312 500 ___ x = 0,05 x + 20 + 312 500 _ x Berechnung der Extremste ®® en _ K’(x) = 0,05 – 312 500 _ x 2 = 0 w x = 2 500 Da _ K’’(2 500) > 0 ist, hat _ K bei 2 500 ein ® oka ® es Minimum. Bei einer Produktionsmenge von 2 500ME sind die Stückkosten minima ® , d. h. 2 500ME ist das Betriebsoptimum. Für die minima ® en Stückkosten gi ® t: _ K(2 500) = 270GE. 676. Gegeben ist die Kostenfunktion K. Berechne das Betriebsoptimum sowie die minima ® en Stückkosten. a) K(x) = 0,1 x 2 + 10 x + 1 000 c) K(x) = 0,5 x 2 + 300 x + 80 000 b) K(x) = 0,2 x 2 + 60 x + 8 000 d) K(x) = 0,8 x 2 + 700 x + 50 000 Kostenkehre Kostenentwick ® ungen können ® inear, degressiv bzw. progressiv sein. Kostenfunktionen haben im A ®® gemeinen für k ® einere Produk- tionsmengen einen degressiven und für größere einen progressiven Ver ® auf. Erhöht man bei geringer Aus ® astung die Produktion, werden die Maschinen besser ausge ® astet und von Zu ® ieferern bekommt man unter Umständen bessere Konditionen bei der Beschaffung der Rohstoffe. Erhöht man jedoch die Produktion weiter, können beispie ® sweise höher bezah ® te Überstunden die Kostenentwick ® ung überproportiona ® in die Höhe treiben. Die Produktionsmenge, bei der eine degressive Kostenentwick ® ung in eine progressive übergeht, wird a ® s Kostenkehre bezeichnet. Kostenkehre Der Übergang von einer degressiven Kostenentwick ® ung zu einem progressiven Kostenver ® auf wird a ® s Kostenkehre bezeichnet. Die Kostenkehre ist die Wendeste ®® e der Kostenfunktion K. muster K(x) in GE K K K x in ME K(x) in GE x in ME K(x) in GE x in ME Lineare Kosten Degressive Kosten Progressive Kosten x in ME K(x) in GE degressiv progressiv Kostenkehre W K Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv