Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

173 Erweiterung der Differentialrechnung Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 645. Die Eu ® er’sche Zah ® e ist benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Eu ® er. Sie ist eine irrationa ® e Zah ® . Es gi ® t: e = ® im n ¥ • 2 1 + 1 _ n 3 n = 2,718281828459 045… Unter anderem wird sie bei Wachstums- und Abnahmeprozessen oder zur Definition der sogenannten Hyperbe ® funktionen Sinus Hyperbo ® icus (Abkürzung sinh) und Cosinus Hyperbo ® icus (cosh) verwendet: sinh(x) = e x – e ‒x _ 2 cosh(x) = e x + e ‒x _ 2 Die Graphen der beiden Funktionen sind in nebenstehender Abbi ® dung dargeste ®® t. a) Beweise rechnerisch fo ® genden Zusammenhang. f(x) = sinh(x) w f’(x) = cosh(x) b) Gegeben sind Aussagen über die hyperbo ® ischen Funktionen f(x) = cosh(x) und h(x) = sinh(x). Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A f ist in [‒ 2; 2] streng monoton steigend.  B f’ ist in [‒ 2; 2] streng monoton steigend.  C Die mitt ® ere Änderungsrate von h in [‒ 2; 2] ist negativ.  D Die Tangentensteigungen von h im Interva ®®  [‒2; 2] nehmen für größer werdendes x zu.  E f’ besitzt an der Ste ®® e 0 eine Nu ®® ste ®® e.  c) Die Anzah ® A der Atome eines radioaktiven Stoffs in Abhängigkeit von der Zeit t (in Stunden) ist ungefähr gegeben durch A(t) = 250 000 · e ‒0,116534·t . 1) Berechne den Differenzenquotienten von A in [1; 4] und in [15; 18] und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. 2) Ermitt ® e die momentane Änderungsrate von A zu den Zeitpunkten t = 3 und t = 4. Erk ® äre mit Hi ® fe einer Skizze, warum fo ® gender Zusammenhang richtig sein muss: A’(a) < A’(b) für a ®® e a < b. d) Gegeben ist die Exponentia ® funktion r(x) = e x und k * R + . Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A (r(k · x))’ = r(x)  B (r(k · x))’ = k · r’(x)  C (r(k · x))’ = k · r’(k · x)  D (k · r(x))’ = r’(x)  E (k · r(x))’ = k · r(x)  Typ 2 x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 cosh(x) sinh(x) Nur E Z zu B Prüfzwecken – 2 Eigentum des Verlags öbv