Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 172 Erweiterung der Differentialrechnung 7 Differenzierbare Funktionen Differenzierbarkeit einer Funktion Eine Funktion f: D ¥ R heißt an einer Ste ®® e p (p * D) differenzierbar , wenn f’(p) = ® im x ¥ p f(x) – f(p) __ x – p existiert. Ist eine Funktion an jeder Ste ®® e ihres Definitionsbereichs differenzierbar, dann nennt man f eine differenzierbare Funktion . 643. Gib an, ob die Funktion f mit f(x) = † x † an der Ste ®® e 0 differenzierbar ist. Betrachtet man die Abbi ® dung erkennt man, dass an der Ste ®® e 0 keine eindeutige Tangente mög ® ich ist. f ist an der Ste ®® e 0 daher nicht differenzierbar. Betrachtet man den ® inks- und rechtsseitigen Grenzwert erhä ® t man: ® im x ¥ 0‒ † x † – 0 _ x = ‒1 (da x < 0) ® im x ¥ 0+ † x † – 0 _ x = 1 (da x > 0) Der Grenzwert existiert nicht, da der ® inks- und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Daher ist f an der Ste ®® e 0 nicht differenzierbar. A ®® e differenzierbaren Funktionen sind auch stetig. Der Graph einer differenzierbaren Funktion darf keinen „Knick“ besitzen. 644. Gib an, an we ® cher Ste ®® e f nicht differenzierbar ist und begründe deine Entscheidung. a) f(x) = † x – 3 † b) f(x) = 2 · † x + 1 † c) f(x) = † 2 x – 1 † d) f(x) = † x + 3 † + 2 Ab ® eitungsrege ® n Produktrege ® f(x) = g(x) · h(x) w f’(x) = g’(x) · h(x) + g(x) · h’(x) Quotientenrege ® f(x) = g(x) _ h(x) w f’(x) = g’(x) · h(x) – g(x) · h’(x) ___ (h(x)) 2 Konstantenrege ® f(x) = g(k · x), k * R w f’(x) = k · g’(k · x) Kettenrege ® f(x) = g(h(x)) w f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) Weitere Ab ® eitungsrege ® n f(x) = sin(x) w f’(x) = cos(x) f(x) = cos(x) w f’(x) = ‒ sin(x) f(x) = e x w f’(x) = e x f(x) = ® n(x) w f’(x) = 1 _ x f(x) = a x w f’(x) = a x · ® n(a) f(x) = ® og a x w f’(x) = 1 _ x · ® n(a) f(x) = x r (r * R ) w f’(x) = r · x r – 1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Eine Funktion f heißt stetig an der Ste ®® e p, wenn der Grenzwert ® im x ¥ p f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(p) übereinstimmt ( ® im x ¥ p f(x) = f(p)). Eine Funktion f: D ¥ R heißt an einer Ste ®® e p (p * D) differenzierbar, wenn f’(p) = ® im x ¥ p f(x) – f(p) __ x – p existiert. muster x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 0 f TIPP zusammenfassung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv