Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

171 Erweiterung der Differentialrechnung | Stetigkeit und Differenzierbarkeit Der Begriff der „Stetigkeit“ ist in der Mathematik oft eine Voraussetzung für wichtige Aussagen über Funktionen. Besitzt der Graph einer Funktion keine Sprünge und kann man ihn mit dem B ® eistift in einem durchzeichnen, dann ist f stetig. 639. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = { † x † für x ≠ 0 ‒1 für x = 0 . Überprüfe, ob f mit D = R stetig ist. Zeichnet man den Funktionsgraphen von f, dann erkennt man, dass man den B ® eistift bei x = 0 absetzen muss. f ist an der Ste ®® e 0 nicht stetig. Rechnerisch wird der Grenzwert der Funktion für x ¥ 0 von ® inks und rechts betrachtet: ® im x ¥ 0‒ f(x) = 0 (Grenzwert von x ¥ 0 von ® inks) ® im x ¥ 0+ f(x) = 0 (Grenzwert von x ¥ 0 von rechts) f(0) = ‒1 w Es existiert zwar ein Grenzwert, dieser stimmt aber nicht mit dem Funktionswert an der Ste ®® e 0 überein. Daher ist die Funktion an der Ste ®® e 0 nicht stetig. 640. Gib an, ob die Funktion f mit D = R stetig ist. a) f(x) = { ‒ 3 für x ≠ 1 2 für x = 1 d) f(x) = { 1 – e x für x º 0 x 2 für x < 0 g) f(x) = { sin(x) für x > 0 2 x für x ª 0 b) f(x) = { x 2 für x ≠ 2 4 für x = 2 e) f(x) = { 3 x‒ 2 für x > 1 ‒ 2 x + 3 für x ª 1 h) f(x) = { e x + 3 für x º 0 x‒ 2 für x < 0 c) f(x) = { 1 für x º 1 ‒1 für x < 1 f) f(x) = { 3 x – 5 für x º 3 x 2 für x < 0 i) f(x) = { x 2 + 3 für x > 2 7 für x ª 2 Potenzfunktionen, Po ® ynomfunktionen, Exponentia ® funktionen, Logarithmusfunktionen, rationa ® e Funktionen und Winke ® funktonen sind in ihrem Definitionsbereich stetig. 641. Gib mit Hi ® fe von geometrischen Über ® egungen an, ob die Funktion f an den Ste ®® en x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , stetig ist. a) b) 642. Gib an, ob fo ® gende Aussage richtig ist: „Die Funktion f mit f(x) = 1 _ 1 – x ist nicht stetig, da an der Ste ®® e 1 eine Po ® ste ®® e ® iegt.“ Verg ® eiche mit der Definition von Stetigkeit auf Seite 170. TIPP muster x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 0 f TIPP x f(x) f x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 f(x) f x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 TIPP Nur zu Prüfzwecken { – Eigentum des 3 Verlags öbv