Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 170 kompe- tenzen 7.4 Stetigkeit und Differenzierbarkeit Lernzie ® e: º Stetige Funktionen erkennen und definieren können º Differenzierbare Funktionen erkennen und definieren können Der Differentia ® quotient wurde in den Kapite ® n 2 und 3 a ® s Grenzwert einer Funktion bezeichnet. In Lösungswege 6 wurde a ®® erdings nur der Grenzwert von Fo ® gen definiert. In diesem Abschnitt werden daher die Begriffe Grenzwert einer Funktion und Differenzierbarkeit genauer betrachtet und erk ® ärt, wann eine Funktion stetig ist. 638. Berechne den Grenzwert der gegebenen Fo ® ge. a) a n = 1 _ n b) a n = 2 – 5 n _ n + 3 c) a n = 2 + 5 n _ n 2 – 3 n d) a n = n 2 _ n 2 – 5 n e) a n = 5 n 3 – 4 n 2 + 1 __ 2 n 5 – 4 n 3 Stetige Funktionen Betrachtet man die beiden Graphen der beiden abgebi ® deten Funktionen an der Ste ®® e 0, so ist ein großer Unterschied erkennbar. x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 0 f x f(x) f 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –2 0 Ega ® , ob man die x- Werte von ® inks oder rechts gegen 0 gehen ® ässt, bewegen sich die Funktionswerte auch gegen 0. Lässt man hier die x-Werte von ® inks für x < 0 gegen 0 gehen, gehen die Funktionswerte gegen ‒1. Lässt man die x-Werte von rechts für x > 0 gegen 0 gehen, gehen die Funktions- werte gegen +1. Der Funktionswert an der Ste ®® e 0 ist a ®® erdings 0. Man sagt, dass bei der ® inken Funktion ein Grenzwert für x ¥ 0 existiert und dass diese Funktion an dieser Ste ®® e stetig ist. Bei der rechten Funktion existiert kein Grenzwert für x ¥ 0, sie ist an dieser Ste ®® e unstetig. Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion a heißt Grenzwert einer Funktion f: D ¥ R an der Ste ®® e p (a = ® im x ¥ p f(x)), wenn für jede be ® ie- bige Fo ® ge x n * D, die gegen p konvergiert, die Fo ® ge der Funktionswerte f(x n ) gegen a strebt. Eine Funktion f heißt stetig an der Ste ®® e p, wenn der Grenzwert ® im x ¥ p f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(p) übereinstimmt ( ® im x ¥ p f(x) = f(p)). Ist eine Funktion an jeder Ste ®® e ihres Definitionsbereichs stetig, dann nennt man diese Funktion stetige Funktion . vorwissen Techno ® ogie An ® eitung Grenzwert y37gg7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv