Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

169 Erweiterung der Differentialrechnung | Weitere Kurvendiskussionen 634. Ein Körper ist an einer Spira ® feder befestigt. Sein Abstand von der Ruhe ® age in Abhängigkeit von der Zeit t wird durch s(t) beschrieben. Bestimme 1) die Nu ®® ste ®® en 2) die Extrempunkte 3) die Wendeste ®® en 4) das Monotonie- verha ® ten 5) die k ® einste Periode von s und interpretiere die Ergebnisse im vor ® iegenden Kontext. a) s(t) = 3 · sin(3 t) c) s(t) = 2 · sin( π t) e) s(t) = 5 · cos(0,5 t) b) s(t) = 2 · sin(0,5 t) d) s(t) = 3 · cos(2 t) f) s(t) = 3 · cos(0,5 π t) 635. Bestimme mit Hi ® fe eines e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® s 1) die Nu ®® ste ®® en 2) die Extrempunkte 3) die Wendeste ®® en 4) die k ® einste Periode von f. a) f(x) = sin 2 (x) b) f(x) = cos 2 (x) c) f(x) = sin(x) · cos(x) Kurvendiskussion – Exponentia ® funktionen In diesem Tei ® werden die bisherigen Methoden zur Untersuchung von Exponentia ® - funktionen verwendet. 636. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x + 1) · e ‒ 1 _ 2 x . Bestimme a) die Nu ®® ste ®® en b) die Extrem- ste ®® en c) die Wendeste ®® en d) das Monotonieverha ® ten e) das Krümmungsverha ® ten von f. f) Skizziere den Graphen von f. Zuerst werden die ersten drei Ab ® eitungen von f mit Hi ® fe der Produktrege ® gebi ® det: f’(x) = ‒ 1 _ 2 · e ‒ 1 _ 2 x · (x – 1) f’’(x) = 1 _ 4 · e ‒ 1 _ 2 x · (x – 3) f’’’(x) = ‒ 1 _ 8 · e ‒ 1 _ 2 x · (x – 5) a) f(x) = 0 0 = (x + 1) · e ‒ 1 _ 2 x Da e ‒ 1 _ 2 x nie 0 sein kann, muss nur der Term x + 1 betrachtet werden: x + 1 = 0 x = ‒1 N = (‒1 1 0) b) f’(x) = 0 0 = ‒ 1 _ 2 · e ‒ 1 _ 2 x · (x – 1) x = 1 Bestimmen des Funktionswerts: f(1) = 2 · e ‒ 1 _ 2 ≈ 1,21 E = (1 1 1,21) Art des Extremums: f’’(1) = ‒ 1 _ 2 · e ‒ 1 _ 2 < 0 E ist ein Hochpunkt. c) f’’(x) = 0 0 = 1 _ 4 · e ‒ 1 _ 2 x · (x – 3) x = 3 Bestimmen des Funktionswerts: f(3) = 4 · e ‒ 3 _ 2 ≈ 0,89 W = (3 1 0,89) Überprüfen, ob ein Wendepunkt vor ® iegt: f’’’(3) ≠ 0 W ist ein Wendepunkt d) streng monoton steigend in (‒ • ; 1] streng monoton fa ®® end in [1; • ) e) rechts gekrümmt in (‒ • ; 3] ® inks gekrümmt in [3; • ) f) Skizze 637. Bestimme 1) die Nu ®® ste ®® en 2) die Extrempunkte 3) die Wendepunkte 4) das Monotonie- verha ® ten 5) das Krümmungsverha ® ten von f. a) f(x) = (x + 3) · e ‒ 1 _ 2 x c) f(x) = (3 x – 6) · e 1 _ 5 x e) f(x) = (x 2 – 16) · e ‒ 1 _ 4 x b) f(x) = (2 x – 3) · e 2 _ 3 x d) f(x) = (x 2 – 9) · e 1 _ 2 x f) f(x) = (x 2 + 1) · e 1 _ 2 x muster x f(x) 2 4 6 8 10 12 14 16 –4 –2 1 2 –2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv