Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 168 Erweiterung der Differentialrechnung 7 Durchführen einer Kurvendiskussion einer Funktion f (nicht Po ® ynomfunktion) Die genaue An ® eitung für Kurvendiskussionen bei Funktionen, die keine Po ® ynomfunktionen sind, befindet sich im Lehrwerk on ® ine. 632. Führe eine Kurvendiskussion durch. a) f(x) = x _ x – 3 d) f(x) = ‒ 2 x __ 3 x 2 – 27 g) f(x) = 2 x 2 – 8 _ 4 x + 12 b) f(x) = 2 x _ x – 1 e) f(x) = ‒ 4 x _ 2 x 2 – 8 h) f(x) = x 2 – 1 _ 4 x + 8 c) f(x) = 2 x + 4 _ 3 x – 6 f) f(x) = 5 x _ x 2 – 1 i) f(x) = x 2 – 16 _ 2 x + 4 Kurvendiskussion – Winke ® funktionen Mit Hi ® fe der bekannten Methoden können auch Funktionen, die Winke ® funktionen beinha ® ten, untersucht werden. Hierbei ist die Anwendung der Techno ® ogie sehr hi ® freich. Beachte, dass Winke ® funktionen periodisch sind. 633. Ein Körper hängt an einer Spira ® feder. Sein Abstand von der Ruhe ® age s in Abhängigkeit von der Zeit wird durch s(t) = 4 · sin(2 t) beschrieben. Bestimme a) die Nu ®® ste ®® en b) die Extremste ®® en c) die Wendeste ®® en d) das Monotoniever- ha ® ten e) die k ® einste Periode von s und interpretiere die Ergebnisse im vor ® iegenden Kontext. Zuerst werden die ersten drei Ab ® eitungen berechnet: s’(t) = 8 · cos(2 t) s’’(t) = ‒16 · sin(2 t) s’’’(t) = ‒ 32 · cos(2 t) a) 0 = 4 · sin(2 t) sin(2 t) = 0 w t = 0, π _ 2 , 3 π _ 2 … Nu ®® ste ®® en bei t = k · π _ 2 , k * Z Zu diesen Zeitpunkten erreicht das Pende ® die Position der Ruhe ® age. b) 0 = 8 · cos(2 t) cos(2 t) = 0 w t = π _ 4 , 3 π _ 4 , 5 π _ 4 … a ®® gemein: Extremste ®® en bei t = π _ 4 + k · π _ 2 , k * Z An diesen Zeitpunkten ist der Abstand zur Ruhe ® age maxima ® , dabei ist die momentane Geschwindigkeit 0. Funktionswerte: s 2 π _ 4 3 = 4, s 2 3 π _ 4 3 = ‒ 4, … Art des Extremums: s’’ 2 π _ 4 3 = ‒16 < 0, s 2 3 π _ 4 3 = 16 > 0, Hochpunkte: 2 π _ 4 + k · π  1 4 3 Tiefpunkte bei 2 3 π _ 4 + k · π  1 ‒ 4 3 c) 0 = ‒16 · sin(2 t) sin(2 t) = 0 w t = 0, π _ 2 , 3 π _ 2 … Wendeste ®® en bei t = k · π _ 2 , k * Z An diesen Ste ®® en hat der Körper seine höchste Geschwindigkeit erreicht. Wendepunkte: W = 2 k · π _ 2 1 0 3 d) streng monoton steigend in 4 π _ 4 + k · π ; 3 π _ 4 + k · π  5 streng monoton fa ®® end in 4 3 π _ 4 + k · π ; 5 π _ 4 + k · π  5 , k * Z e) k ® einste Periode: π Techno ® ogie An ® eitung rationa ® e Funktionen 96dx5r muster Techno ® ogie An ® eitung Winke ® funktionen q3iv6d t s(t) 4 8 12 16 20 – 12 –8 –4 2 4 –4 –2 0 s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv