Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 167 Erweiterung der Differentialrechnung | Weitere Kurvendiskussionen 629. Zeichne den Graphen der Funktion f mit Hi ® fe eines e ® ektronischen Hi ® fsmitte ® s sowie die Asymptoten von f und bestimme die G ® eichungen der Asymptoten. a) f(x) = 3 _ x – 5 c) f(x) = 3 x _ x + 3 e) f(x) = 3 x 2 – 6 x + 1 __ 2 x – 4 b) f(x) = ‒ 5 _ 2 x + 1 d) f(x) = 12 x – 5 _ 4 x – 5 f) f(x) = 3 x 2 _ x – 5 Aufste ®® en der Asymptoten einer Funktion f Geogebra Asymptote(f) Beispie ® : Asymptote 2 1 _ x – 1 3 x = 1, y = 0 630. Es sei f(x) = g(x) _ h(x) eine gebrochen rationa ® e Funktion, n der Grad von g(x) und r der Grad von h(x). a) We ® che Bedingung muss erfü ®® t sein, damit f eine senkrechte Asymptote besitzt? b) We ® che Bedingung muss erfü ®® t sein, damit f eine waagrechte Asymptote besitzt? c) We ® che Bedingung muss erfü ®® t sein, damit die x-Achse Asymptote ist? d) We ® che Bedingung muss erfü ®® t sein, damit f eine schräge Asymptote besitzt? 631. Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 2 – 4 _ 4 x + 12 . Führe eine Kurvendiskussion durch. Zuerst werden die ersten drei Ab ® eitungen berechnet. Dabei muss die Quotientenrege ® oder Techno ® ogie verwendet werden. f’(x) = x 2 + 6 x + 4 __ 4 x 2 + 24 x + 36 f’’(x) = 5 ___ 2 x 3 + 18 x 2 + 54 x + 54 f’’’(x) = ‒15 _____ 2 x 4 + 23 x 3 + 108 x 2 + 216 x + 162 1) Definitionsmenge: Da man durch nu ®® nicht dividieren darf, gi ® t: D = R \{‒ 3}. 2) Nu ®® ste ®® en: 0 = x 2 – 4 _ 4 x + 12 w x 1 = 2, x 2 = ‒ 2 Schnittpunkte mit der x-Achse: N 1 = (‒ 2 1 0), N 2 = (2 1 0) 3) Extremste ®® en: 0 = x 2 + 6 x + 4 __ 4 x 2 + 24 x + 36 w x 1 = ‒ 5,24, x 2 = ‒ 0,76 Art der Extremste ®® en: f’’(‒ 5,24) = ‒ 0,22 < 0 w ® oka ® es Maximum f’’(‒ 0,76) = 0,22 > 0 w ® oka ® es Minimum Berechnen der Funktionswerte: f(‒ 5,24) = ‒ 2,62, f(‒ 0,76) = ‒ 0,38 Die Extrempunkte sind: H = (‒ 5,24 1 ‒ 2,62), T = (‒ 0,76 1 ‒ 0,38) 4) Monotonieinterva ®® e: Da die Funktion an der Ste ®® e ‒ 3 keinen Funktionswert annehmen kann, muss diese Ste ®® e bei der Angabe der Monotonieinterva ®® e berücksichtigt werden. Es ergeben sich daher fo ® gende Monotonieinterva ®® e (vg ® . mit dem Graphen von f): (‒ • ; ‒ 5,24] und [‒ 0,76; • ) streng monoton steigend [‒ 5,24; ‒ 3) und (‒ 3; ‒ 0,76) streng monoton fa ®® end 5) Wendeste ®® en: 0 = 5 ___ 2 x 2 + 18 x + 54 x + 54 w es gibt keine Wendeste ®® en 6) Krümmungsinterva ®® e: (‒ • ; ‒ 3) rechts gekrümmt (‒ 3; • ) ® inks gekrümmt 7) es gibt keine Wendetangenten 8) Asymptoten: Eine Asymptote befindet sich bei der Po ® ste ®® e. Die schräge Asymptote kann z. B. durch Po ® ynomdivision bestimmt werden. a 1 : x = ‒ 3 a 2 : y = 1 _ 4 x – 3 _ 4 9) Skizze muster x f(x) 2 4 6 8 10 – 10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 –8 –6 –4 –2 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv