Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 166 kompe- tenzen 7.3 Weitere Kurvendiskussionen Lernzie ® e: º Kurvendiskussionen bei rationa ® en Funktionen durchführen können º Kurvendiskussionen bei Winke ® funktionen durchführen können º Kurvendiskussionen bei Exponentia ® funktionen durchführen können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 3.3 Eigenschaften von Funktionen mit Hi ® fe der Ab ® eitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, ® oka ® e Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendeste ®® en In 3.3 wurden bereits Po ® ynomfunktionen untersucht. Dabei wurde zuerst die Definitions- menge aufgeste ®® t. Ansch ® ießend wurden Nu ®® ste ®® en, Extremste ®® en, Wendeste ®® en ermitte ® t und die Wendetangenten aufgeste ®® t. In diesem Abschnitt wird dieses Wissen auf weitere Funktionstypen angewendet. Kurvendiskussion – rationa ® e Funktionen In diesem Abschnitt werden gebrochen rationa ® e Funktionen untersucht. Eine gebrochen rationa ® e Funktion ist eine Funktion der Form f(x) = g(x) _ h(x) , wobei g und h zwei Po ® ynomfunktionen sind. Betrachtet man den Graphen der Funktion f mit f(x) = x 2 – x – 12 __ x – 1 , dann erkennt man, dass sich der Graph der Funktion an zwei Geraden annähert, die Asymptoten genannt werden. Die Definitions ® ücke dieser Funktion wird auch Po ® ste ®® e genannt. Eine Asymptote befindet sich bei der Definitions ® ücke. Es gi ® t daher a 1 : x = 1. Eine schräge Asymptote existiert, wenn der Grad des Zäh ® ers größer a ® s der Grad des Nenners ist. Führt man nun eine Po ® ynomdivision durch ((x 2 – x – 12) : (x – 1)), so erhä ® t man a ® s Ergebnis x mit Rest ‒12. f(x) = x 2 – x – 12 __ x – 1 = x + ‒12 _ x – 1 Der Ausdruck ‒12 _ x – 1 beschreibt nun den Abstand der Geraden h (h(x) = x) zur Funktion f an jeder Ste ®® e x (vg ® . nebenstehende Abbi ® dung). Für sehr große oder sehr k ® eine x-Werte geht der Bruch ‒12 _ x – 1 gegen nu ®® und die Funktion verhä ® t sich wie die Funktion h. Die zweite Asymptote ® autet daher: a 2 : y = x. Asymptote einer Funktion Nähert sich der Graph einer Funktion f einer Geraden be ® iebig nahe an, ohne diese jedoch zu berühren, dann nennt man diese Gerade eine Asymptote von f. x f(x) 2 4 6 8 10 12 –8 –6 –4 –2 0 20 40 60 –20 –40 –60 f Asymptoten x y h 2 4 6 8 10 12 14 –2 4 8 12 16 –4 0 –12 – x + 1 f Techno ® ogie Darste ®® ung Asymptoten j7r7a4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv