Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 165 Erweiterung der Differentialrechnung | Ableitung weiterer Funktionen Ab ® eitungsrege ® n für Potenzfunktionen mit ree ®® en Exponenten 623. Schreibe den Term a ® s Potenz mit einer rationa ® en Hochzah ® an. a) 1 _ x 3 b) 2 _ x 7 c) 5 _ x 6 d) 9 _ x e) 4 9 __ x 7 f) 2 9 __ x 9 g) 3 _ 9 _ x h) ‒ 2 _ 4 9 __ x 7 i) 1 _ 9 9 __ x 3 In Kapite ® 2 wurde die Ab ® eitungsrege ® für Potenzfunktionen mit natür ® ichen Exponenten bewiesen. Dies war für Po ® ynomfunktionen ausreichend. Mit den neuen Erkenntnissen kann diese Rege ® auch auf Potenzfunktionen mit be ® iebigen ree ®® en Exponenten erweitert werden. Ab ® eitungsrege ® für Potenzfunktionen mit ree ®® en Exponenten f(x) = x r (r * R ) w f’(x) = r · x r – 1 Beweis der Ab ® eitungsrege ® für Potenzfunktionen Um die Ab ® eitungsrege ® zu beweisen, muss fo ® gender Zusammenhang verwendet werden: e ® n(x) = x. Verwendet man diesen Zusammenhang, dann kann die bereits bekannte Ab ® eitungs- rege ® für die natür ® iche Exponentia ® funktion sowie die Kettenrege ® angewandt werden: f(x) = x r = (e ® n(x) ) r = e r· ® n(x) w f’(x) = e r· ® n(x) · 1 _ x · r = (e ® n(x) ) r · 1 _ x · r Ersetzt man nun wieder e ® n(x) durch x, erhä ® t man die obige Behauptung: f’(x) = x r · 1 _ x · r = r · x r – 1 624. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = 5 _ x 3 b) f(x) = 9 __ x 9 c) f(x) = 1 __ 9 __ __ 3 x 2 – 5 x a) Diese Aufgabe könnte mit der Quotientenrege ® ge ® öst werden. Durch Anwendung der obigen Rege ® , kann man die Ab ® eitung auch auf fo ® gende Art berechnen: f(x) = 5 · x ‒3 w f’(x) = ‒15 · x ‒4 = ‒ 15 _ x 4 b) f(x) = x 9 _ 2 w f’(x) = 9 _ 2 · x 7 _ 2 = 9 _ 2 · 9 __ x 7 c) f(x) = (3 x 2 – 5 x) ‒ 1 _ 2 w f’(x) = ‒ 1 _ 2 · (3 x 2 – 5 x) ‒ 3 _ 2 · (6 x – 5) = ‒ 6 x – 5 __ 2 9 __ ___ (3 x 2 – 5 x) 3 625. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = ‒ 2 _ x 3 – x ‒3 c) f(x) = ‒12 _ x – 2 _ x 4 e) f(x) = x 2 – 5 x 3 – 3 _ x 14 b) f(x) = 3 _ x 8 + 2 _ x 12 d) f(x) = 4 _ x 3 + 12 _ x 12 f) f(x) = 3 x ‒4 – x 3 _ x 12 + 12 626. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = 3 9 __ x 4 b) f(x) = 7 9 __ x 6 c) f(x) = 4 9 __ x 11 d) f(x) = 1 _ 9 __ x 3 e) f(x) = ‒ 5 _ 9 __ x 7 627. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = 1 __ 9 __ _ 2 x 3 – x 2 b) f(x) = ‒ 3 __ 9 __ __ 2 x 2 + 3 x c) f(x) = 25 __ 9 __ __ 6 x + 2 x 8 d) f(x) = ‒12 __ 9 __ _ 7x 3 + x 2 628. Beweise die Gü ® tigkeit der gegebenen Rege ® . a) f(x) = 9 ___ g(x) w f’(x) = g’(x) _ 2 9 ___ g(x) b) f(x) = 3 9 ___ g(x) w f’(x) = g’(x) __ 3 · 3 9 __ g(x) 2 vorwissen muster Nur zu D x Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv