Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 164 Erweiterung der Differentialrechnung 7 Ab ® eitungsrege ® n für Exponentia ® - und Logarithmusfunktionen 617. Erk ® äre, was man unter einer Exponentia ® funktion versteht und zeichne den Graphen der Funktionen f bzw. g mit f(x) = 2 x bzw. g(x) = 2 1 _ 2 3 x . 618. Was versteht man unter der natür ® ichen Exponentia ® funktion und der Eu ® er’schen Zah ® ? Zeichne weiters den Graphen der natür ® ichen Exponentia ® funktion. Wie auf S. 156 bereits erwähnt, wird die natür ® iche Exponentia ® funktion (f(x) = e x ) in den Naturwissenschaften oft verwendet. Eine große Besonderheit dieser Funktion ist, dass die Funktion und ihre Ab ® eitung g ® eich sind. Die Steigung der Tangente an jeder Ste ®® e der Funktion ist daher g ® eich dem Funktionswert an dieser Ste ®® e. (Beweise der fo ® genden Sätze siehe Seite 273) Ab ® eitungsrege ® n für Exponentia ® - und Logarithmusfunktionen f(x) = e x g(x) = a x h(x) = ® n(x) s(x) = ® og a x f’(x) = e x g’(x) = a x · ® n(a) h’(x) = 1 _ x s’(x) = 1 _ x · ® n(a) 619. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = e ‒4x b) f(x) = 2 3x 2 c) f(x) = ® n(3 x 2 – 2) Da f die Verkettung mehrerer Funktionen ist, muss jewei ® s die Kettenrege ® verwendet werden. a) f’(x) = e ‒4x · (‒ 4) b) f’(x) = 2 3x 2 · ® n(2) · 6 x = 6 x · 2 3x 2 · ® n(2) c) f’(x) = 1 _ 3 x 2 – 2 · 6 x = 6 x _ 3 x 2 – 2 620. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = e 3x f) f(x) = 3 5x k) f(x) = ® n(8 x) p) f(x) = ® og 2 (5 x) b) f(x) = e ‒5x – 2 g) f(x) = 5 ‒8x ® ) f(x) = ® n(5 x) q) f(x) = ® og 3 (8 x) c) f(x) = e 7x + 4 x h) f(x) = 10 ‒4x m) f(x) = ® n(2 x 2 ) r) f(x) = ® og 2 (2 x 2 ) d) f(x) = e ‒5x + 3 x 3 i) f(x) = 2 ‒4x n) f(x) = ‒ 5 · ® n(4 x) s) f(x) = 5 · ® og 2 (10 x) e) f(x) = ‒ 2 e ‒5x – x 2 j) f(x) = 3 · 5 ‒8x o) f(x) = 5 · ® n(3 x 3 ) t) f(x) = ‒3· ® og 3 (3 x 3 ) 621. Bestimme die Ab ® eitungsfunktion von f. a) f(x) = x 2 · e ‒3x c) f(x) = 3 ‒4x · ® n(x 2 ) e) f(x) = ® og 3 (5 x) · ® n(2 x) b) f(x) = ® n(3 x) · e ‒3x d) f(x) = 2 5x · ® n(3 x) f) f(x) = ® og 2 (2 x) · e 4x 622. Die Anfangstemperatur eines Körpers T 0 küh ® t im Laufe der Zeit bis auf seine Umgebungstemperatur T U ab. Dieser Zusammenhang kann durch fo ® genden Abnahmeprozess mode ®® iert werden: T(t) = T U + (T 0 – T U ) · e λ ·t (t in Minuten, T in °C) Die Abküh ® ungskonstante λ ist abhängig vom Materia ® . Die Anfangstemperatur einer Tasse Kakao ist 80°. Die Raumtemperatur ist 21°, die Abküh ® ungskonstante ‒ 0,13. a) Berechne die mitt ® ere Änderungsraten von T in den Interva ®® en [0; 2] und [2; 4] und interpretiere die Ergebnisse. b) Berechne die momentane Änderungsraten von T zu den Zeitpunkten t = 2, t = 4 und t = 20 Minuten. Interpretiere die Ergebnisse. vorwissen Techno ® ogie Darste ®® ung Ab ® eitung Exponentia ® - und Logarithmus- funktionen mv2mh5 muster Arbeitsb ® att Exponentia ® - und Logarithmus- funktionen 2hf7e2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv