Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie 161 Erweiterung der Differentialrechnung | Weitere Ableitungsregeln 600. Bi ® de die erste Ab ® eitung von f mit Hi ® fe der Kettenrege ® . a) f(x) = (3 x 2 – 4) 7 c) f(x) = (‒ 2 x 3 + 12 x) 11 e) f(x) = (2 x 4 + 3 x 5 ) 5 b) f(x) = (3 x 6 – 2 x 2 ) 3 d) f(x) = (‒ 2 x + 3 x 2 ) 9 f) f(x) = (‒ x 6 + 2 x 3 ) 13 601. Berechne die erste Ab ® eitung und gib an, we ® che Rege ® n verwendet wurden. a) f(x) = (2 x – 3) 2 · (2 + x) c) f(x) = (3 x 2 – 1) 3 · (3 – 4 x) b) f(x) = (2 x 2 + 1) 2 · (2 x 2 + 1) 2 d) f(x) = (‒ x 3 – 1) 3 · (x 2 + 1) 602. Berechne die erste Ab ® eitung von f. a) f(x) = x · (2 x – 3) 2 __ (3 x – 7) 2 b) f(x) = (2 x – 1) · (6 x 2 – 2 x) 2 ___ (2 x – 3) 2 c) f(x) = (2 x + 3) 3 __ x 3 603. Das Gesetz von Boy ® e und Mariotte besagt, dass der Druck p (in bar) abgesch ® ossener Gase bei g ® eichb ® eibender Temperatur indirekt proportiona ® zum Vo ® umen V (in dm 3 ) ist. Es gi ® t: p(V) = k _ V , k konstant a) Berechne die Differenzenquotienten von p in den Interva ®® en [1; 3] und [3; 5] und interpretiere die Ergebnisse im gegebenen Kontext. b) Berechne die momentane Änderung von p für V = 10dm 3 und interpretiere das Ergebnis. 604. Die durchschnitt ® iche Geschwindigkeit v eines Fahrzeugs auf einer r Meter ® angen Strecke in Abhängigkeit von der Zeit t (in Sekunden) kann mitte ® s v(t) = r _ t berechnet werden. Berechne die momentane Änderungsrate von v zum Zeitpunkt t = 12 s und interpretiere das Ergebnis. Imp ® izites Differenzieren Oft sind Funktionsg ® eichungen nicht in der exp ® iziten Form (z. B. y = ‒ 2 x + 2), sondern in imp ® iziter Form (z. B. 2 x + y = 2) gegeben. Um auch imp ® izite Darste ®® ungen differenzieren zu können, muss die Kettenrege ® verwendet werden, da y von x abhängig ist. Möchte man z. B. die Ab ® eitung des Kreises x 2 + y 2 = 9 bestimmen, wird jeder Tei ® für sich differenziert (sowoh ® die ® inke Seite a ® s auch die rechte Seite). Es ist zu beachten, dass y für y > 0 eine Funktion von x ist und daher die Kettenrege ® angewendet werden muss. 2 x + 2 y · y’ = 0 w y’ = ‒ x _ y 605. Ermitt ® e die Ab ® eitung durch imp ® izites Differenzieren. a) x 2 + y 2 = 16 c) ‒ x 2 – 3 y 3 = 16 e) x – 3 y 2 = 16 x 2 b) 3 x 2 – 2 y 2 = 12 d) ‒ x 2 + 3 x – 4 y 4 = 3 f) y 2 – 23 x 2 = 2 x 606. Ermitt ® e die Ab ® eitung durch imp ® izites Differenzieren. a) 2 x y = 5 c) 5 x 3 y + 2 y 3 = 4 e) 2 y + 3 x 2 y = 5 b) ‒ 3 x 2 y = 5 d) 2 x 2 y – 3 y 3 = x f) ‒ 3 x 3 y 2 + 2 y = 2 Imp ® izites Differenzieren Geogebra Imp ® iziteAb ® eitung(Funktionsterm, y, x) Imp ® iziteAb ® eitung(x 2 + y 2 ‒ 9, y, x) TI-NSpire impDif(G ® eichung, x, y) impDif(x 2 + y 2 = 9, x, y) ‒x _ y Techno ® ogie An ® eitung imp ® izites Differenzieren 244cz8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv