Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 160 Erweiterung der Differentialrechnung 7 594. Bestimme die erste Ab ® eitung von f mit f(x) = (‒ 2 x) 3 a) indem zuerst umgeformt und dann differenziert wird b) durch Verwendung der Konstantenrege ® . a) f(x) = ‒ 8 x 3 w f’(x) = ‒ 24 x 2 b) f(x) = (‒ 2 x) 3 w f’(x) = ‒ 2 · 3 · (‒ 2 x) 2 = ‒ 6 · 4 x 4 = ‒ 24 x 2 konstanter Faktor k = ‒ 2 595. Bestimme die erste Ab ® eitung von f 1) indem zuerst umgeformt und dann differenziert wird 2) durch Verwendung der Konstantenrege ® . a) f(x) = (‒ 2 x) 4 c) f(x) = 2 9 _ 3x 3 6 e) f(x) = 2 2 _ 3 x 3 5 g) f(x) = ( π · x) 5 b) f(x) = (3 x) 2 d) f(x) = 2 9 _ 2x 3 8 f) f(x) = 2 ‒ 3 _ 4 x 3 3 h) f(x) = (2 x) 8 596. Bestimme die erste Ab ® eitung von f und gib an, we ® che Rege ® n verwendet wurden. a) f(x) = (2 x 3 ) · (3 x) 2 b) f(x) = (‒ 4 x) 2 · (2 x) 3 c) f(x) = (3 x) 3 _ 2 x – 4 d) f(x) = (‒ 5 x) 2 _ 2 x 2 – 3 597. Vervo ®® ständige den fo ® genden Satz, sodass er mathematisch korrekt ist. Ist (1) , dann ist (2) . (1) (2) f(t) = r · h 2 t 3 , r * R  f’(t) = r · h’(r · t), r * R  f(t) = h(r · t), r * R  f’(t) = r’ · h’(t), r * R  f(t) = h(t) _ r , r * R \{0}  f’(t) = h’(t), r * R  Die Kettenrege ® Eine Vera ®® gemeinerung der Konstantenrege ® ist die Kettenrege ® . Ist f die Verkettung (verg ® eiche Lösungswege 6, Seite 56) zweier be ® iebiger Funktionen g und h (f(x) = g(h(x))), dann kann die Kettenrege ® verwendet werden (ohne Beweis). Die Kettenrege ® f(x) = g(h(x)) f’(x) = g’(h(x)) · h’(x) (kurz: „äußere Ab ® eitung ma ® innere Ab ® eitung“) (Dabei wird g’(h(x)) a ® s äußere Ab ® eitung und h’(x) a ® s innere Ab ® eitung bezeichnet.) 598. Bi ® de die erste Ab ® eitung von f(x) = (3 x 2 – 5 x) 2 a) ohne b) mit Verwendung der Kettenrege ® . a) f(x) = 9 x 4 – 30 x 3 + 25 x 2 w f’(x) = 36 x 3 – 90 x 2 + 50 x b) Die Funktion f ist eine Verkettung zweier Funktionen. Bei der Kettenrege ® muss die äußere Ab ® eitung mit der inneren Ab ® eitung mu ® tip ® iziert werden: f’(x) = 2 · (3 x 2 – 5 x) · (6 x – 5) = 2 · (18 x 3 – 45 x 2 + 25 x) = 36 x 3 – 90 x 2 + 50 x „äußere Ab ® eitung“ „innere Ab ® eitung“ 599. Bi ® de die erste Ab ® eitung von f 1) ohne 2) mit Verwendung der Kettenrege ® . a) f(x) = (‒ 3 x 2 + 1) 2 c) f(x) = (‒ 3 x 3 + 2 x) 2 e) f(x) = (‒ 2 x + x 2 ) 3 b) f(x) = (2 x 3 + 1) 2 d) f(x) = (‒ x 2 + 3 x) 2 f) f(x) = (‒ 3 x 3 + 2 x) 3 muster AN 2.1 muster { { Nur zu Prüfzwecken – Eigentum ( des Verlags öbv