Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 159 Erweiterung der Differentialrechnung | Weitere Ableitungsregeln 588. Bestimme die erste Ab ® eitung von f 1) durch Kürzen 2) mit Hi ® fe der Quotientenrege ® . a) f(x) = x 6 _ x 3 b) f(x) = x 4 _ x c) f(x) = 2 x 5 _ 7x 2 d) f(x) = ‒ 5 x 12 _ 5 x 6 e) f(x) = 27x 15 _ 3 x 14 589. Bestimme die erste Ab ® eitung von f. a) f(x) = 2 _ x 5 b) f(x) = ‒ 3 _ x 4 c) f(x) = 12 _ ‒ x 3 d) f(x) = ‒ 2 x _ x 9 e) f(x) = 12 x 2 _ 4 x 7 590. Bestimme die erste Ab ® eitung von f. a) f(x) = ‒ 5 x _ 2 x – 1 c) f(x) = ‒ x 2 + 4 _ 3 x 2 – 1 e) f(x) = 2 x 2 – 8 x __ x – 1 g) f(x) = x 3 + 2 x 2 __ ‒ 3 x 2 + x b) f(x) = ‒ 3 x 2 _ 4 – 2 x d) f(x) = ‒ 5 x – 3 __ 2 – x 2 f) f(x) = ‒ 5 x 2 – x __ 3 x – 1 h) f(x) = ‒ 4 x 3 – 2 x __ 3 x 2 + 2 x 591. Bestimme die G ® eichung der Tangente von f an der Ste ®® e p. a) f(x) = 2 x _ 3 x – 4 p = 2 c) f(x) = 5 _ 2 x 2 + 3 p = 1 e) f(x) = 2 x – 7 _ 3 x + 1 p = 5 b) f(x) = ‒ x 2 _ 4 x – 2 p = ‒1 d) f(x) = 3 _ 2 x – 6 p = ‒ 3 f) f(x) = x 2 – 3 _ 2 x + x 2 p = 3 592. In we ® chen Punkten des Graphen von f ist die Tangentensteigung g ® eich k? a) f(x) = ‒ 4 _ 3 x – 7 k = 3 _ 4 b) f(x) = ‒ 2 x 2 + 1 __ 2 – x k = ‒ 5 c) f(x) = ‒ 3 x 2 + 1 __ 4 – 3 x k = ‒12 Lösung von Aufgabe 592 a mitte ® s Techno ® ogie Geogebra: zuerst f(x) definieren, dann in CAS f’(x) = 3 _ 4 eingeben und x = drücken TI-NSpire: zuerst f(x) definieren so ® ve 2 d _ dx (f(x)) = 3 _ 4 , x 3 593. Beweise die Quotientenrege ® durch Ausführung der einze ® nen Schritte. a) Ste ®® e den Differentia ® quotienten von f an der Ste ®® e x der Funktion f mit f(x) = g(x) _ h(x) auf und bringe diesen auf die Form: f’(x) = ® im z ¥ x g(z) · h(x) – g(x) · h(z) ___ (z – x) · h(z) · h(x) b) Füge im Zäh ® er den Ausdruck ‒ g(x) · h(x) + g(x) · h(x) ein und erk ® äre, warum dieser Schritt zu ® ässig ist. c) Leite mit Hi ® fe des erha ® tenen Ausdrucks die Quotientenrege ® her. Die Konstantenrege ® Um Funktionen der Form f(x) = g(k · x) zu differenzieren (k * R ), wie z. B. f(x) = (2 x) 3 , kann eine weitere Rege ® verwendet werden. Natür ® ich kann man f(x) auch zuerst potenzieren und f ansch ® ießend mit der Potenzrege ® differenzieren, aber z. B. für f(x) = sin(3 x) ist die Konstantenrege ® hi ® freich. (Beweis auf Seite 271) Die Konstantenrege ® f(x) = g(k · x), k * R f’(x) = k · g’(k · x) Techno ® ogie An ® eitung Aufgabe 592 bb4v45 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des 2 _ ( Verlags 3 öbv