Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 158 Erweiterung der Differentialrechnung 7 582. Berechne die erste Ab ® eitung von f mit f(x) = (‒ 2 x 3 + 1) · (‒ 2 – 7x) a) durch Ausmu ® tip ® izieren b) durch Anwendung der Produktrege ® . a) f(x) = 14 x 4 + 4 x 3 – 7x – 2 w f’(x) = 56 x 3 + 12 x 2 – 7 b) Verwendet man die Produktrege ® , muss zuerst g und h sowie ihre Ab ® eitungen bestimmt werden: g(x) = ‒ 2 x 3 + 1 g’(x) = ‒ 6 x 2 h(x) = ‒ 2 – 7x h’(x) = ‒7 Durch Einsetzen in die Produktrege ® erhä ® t man: f’(x) = ‒ 6 x 2 · (‒ 2 – 7x) + (‒ 2 x 3 + 1) · (‒7) = 12 x 2 + 42 x 3 + 14 x 3 – 7 = 56 x 3 + 12 x 2 – 7 583. Bestimme die erste Ab ® eitung von f 1) durch Ausmu ® tip ® izieren 2) mit Hi ® fe der Produktrege ® . a) f(x) = (‒ x 5 + 1) · (3 x 3 ) d) f(s) = (3 s 2 + 2 s) · (‒ s – 3 s 3 ) b) f(x) = (‒ 2 x 5 ) · (‒ 3 + 7x 2 ) e) f(x) = (‒ 2 x 3 + 1) · (3 x 5 – 3 x 6 ) c) f(t) = (3 t 2 + 1 t) · (‒ 2 t – 7 t 3 ) f) f(g) = (‒ g 2 + 1 g) · (2 + 3 g 4 ) 584. Bestimme die Steigung der Tangente von f an der Ste ®® e x = ‒ 3. Verwende für die Ab ® eitung der Funktion die Produktrege ® . a) f(x) = x 2 · (‒ 5 x 3 + 4 x 2 ) c) f(x) = (‒ 2 x 3 – x 6 ) · (3 – 2 x 2 ) b) f(x) = (‒ 2 x 4 – 3 x 3 ) · (‒12 x + 4 x 2 ) d) f(x) = (x 2 – 2 x) · (‒ x – x 2 ) 585. 1) Beweise mit Hi ® fe der Produktrege ® , dass gi ® t: f = u · v ·w w f’ = u’· v ·w + u · v’·w + u · v ·w’ 2) Verwende die Rege ® aus 1) um die Ab ® eitungsfunktion von f zu bestimmen. a) f(x) = x 2 · (x 3 – 2 x 2 ) · (4 x 2 ) c) f(x) = (x 2 – 2) · (3 x – 2 x 3 ) · (‒ 5 x + x 3 ) b) f(x) = x 4 · (‒ x + 4 x 5 ) · (‒ x + 4 x 2 ) d) f(x) = (x 3 + 8) · (‒ 2 x + x 2 ) · (‒ 5 + 2 x 2 ) Fasse f a ® s Produkt der Funktionen (u · v) und w auf und verwende die Produktrege ® . Die Quotientenrege ® 586. Gegeben ist die Funktion f(x) = x 3 _ x (x ≠ 0). 1) Kürze zuerst den Bruch und ermitt ® e ansch ® ießend f’(x). 2) Es sei f(x) = g(x) _ h(x) . Bestimme g(x) und h(x) der gegebenen Funktion und überprüfe, ob gi ® t f’(x) = g’(x) _ h’(x) . Die Quotientenrege ® (Beweis siehe Aufgabe 593) f(x) = g(x) _ h(x) f’ 2 x 3 = g’(x) · h(x) – g(x) · h’(x) ___ (h(x)) 2 kurz: f’ = g’ · h – g · h’ __ h 2 587. Berechne die erste Ab ® eitung der Funktion f mit f(x) = 3 x 2 – 2 x __ 3 x + 4 . Für die Berechnung der ersten Ab ® eitung muss man zuerst g und h sowie ihre Ab ® eitungen bestimmen: g(x) = 3 x 2 – 2 x w g’(x) = 6 x – 2 h(x) = 3 x + 4 w h’(x) = 3 Durch Einsetzen in die Quotientenrege ® erhä ® t man: f’(x) = (6 x – 2) · (3 x + 4) – (3 x 2 – 2 x) · 3 _____ (3 x + 4) 2 = 18 x 2 + 24 x – 6 x – 8 – 9 x 2 + 6 x ____ (3 x + 4) 2 = 9 x 2 + 24 x – 8 __ (3 x + 4) 2 muster TIPP muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv