Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 157 kompe- tenzen 7.1 Weitere Ab ® eitungsrege ® n Lernzie ® e: º Die Konstantenrege ® kennen und anwenden können º Die Produktrege ® kennen und anwenden können º Die Quotientenrege ® kennen und anwenden können º Die Kettenrege ® kennen und anwenden können Grundkompetenz für die schrift ® iche Reifeprüfung: AN 2.1 Einfache Rege ® n des Differenzierens kennen und anwenden können: Potenzrege ® , Summenrege ® , Rege ® n für [k · f(x)]’ und [f(kx)]’ Anmerkung: Im Tei ® Vernetzung von Grundkompetenzen können mit Hi ® fe techno ® ogischer Werkzeuge auch komp ® exere Differentiationsmethoden angewandt und umgesetzt werden. Die Produktrege ® In den Kapite ® n 2 und 3 wurden Po ® ynomfunktionen differenziert. Dabei hat man z. B. die Summenrege ® und die Potenzrege ® verwendet. Um Produkte oder Quotienten von Funktionen zu differenzieren, sind neue Rege ® n notwendig, wie das fo ® gende Beispie ® zeigt: Es wird die Funktion f mit f(x) = (3 x – 4) · (2 x 2 + 3 x) betrachtet und die Ab ® eitung von f gesucht. f kann durch Ausmu ® tip ® izieren auf Po ® ynomform gebracht werden und ansch ® ießend mit den bekannten Methoden differenziert werden: f(x) = 6 x 3 + x 2 – 12 x w f’(x) = 18 x 2 + 2 x – 12 Würde man versuchen, jeden Faktor einze ® n zu differenzieren, würde man auf fo ® gendes Ergebnis kommen: f’(x) = 3 · (4 x + 3) = 12 x + 9 Die beiden Ergebnisse stimmen a ® so nicht überein, d. h. die zweite Methode ist offensicht ® ich fa ® sch. In 7.2 werden Funktionen der Form f(x) = g(x) · h(x) behande ® t, die man nicht auf Po ® ynomform bringen kann. Aus diesem Grund wird die Produktrege ® benötigt. Die Produktrege ® f(x) = g(x) · h(x) f’(x) = g’(x) · h(x) + g(x) · h’(x) kurz: f’ = g’· h + g · h’ Beweis der Produktrege ® Um die Produktrege ® zu beweisen, wird der Differentia ® quotient verwendet: f’(x) = ® im z ¥ x f(z) – f(x) __ z – x = ® im z ¥ x g(z) · h(z) – g(x) · h(x) ___ z – x Nun wird ein Trick angewendet. Man fügt im Zäh ® er den Ausdruck ‒ g(x) · h(z) + g(x) · h(z) (a ® so 0) ein und erhä ® t durch Umformen die Produktrege ® : f’(x) = ® im z ¥ x g(z) · h(z) – g(x) · h(z) + g(x) · h(z) – g(x) · h(x) ______ z – x = = ® im z ¥ x h(z) · (g(z) – g(x)) ___ z – x + ® im z ¥ x g(x) · (h(z) – h(x)) ___ z – x = g’(x) · h(x) + g(x) · h’(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv