Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

154 Parameterdarstellung von Kurven 6 Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 575. Ein Körper m befindet sich auf einer Kreisbahn um den Ursprung des Koordinatensystems. _ À r(t) = 2 r · sin 2 t + π _ 2 3 r · cos 2 t + π _ 2 3 3 ist der Vektor (Bahnvektor) vom Ursprung zum Ort des Körpers m zum Zeitpunkt t º 0. a) Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Der Durchmesser der Kreisbahn beträgt 2 _ À r .  B Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich der Körper m auf der x-Achse.  C Zum Zeitpunkt t = π /2 befindet sich der Körper auf der x-Achse.  D | _ À r(t) | = r  E Der Körper bewegt sich im Uhrzeigersinn.  b) Die Ab ® eitung eines Vektors wird koordinatenweise durchgeführt: Für _ À a = 2 x(t) y(t) 3 ist die erste Ab ® eitung _ À a’ = 2 x’(t) y’(t) 3 . Die Momentangeschwindigkeit _ À v des Körpers m entspricht der Ab ® eitung des Vektors _ À r(t). Die Besch ® eunigung _ À a des Körpers m entspricht der zweiten Ab ® eitung des Vektors _ À r(t). 1) Zeige, dass _ À v norma ® auf _ À r(t) steht. 2) Zeige, dass der Betrag der Momentangeschwindigkeit konstant ist. 3) Zeige, dass _ À a in Richtung des Bahnmitte ® punkts zeigt. c) Ein anderer Körper k besitzt den Bahnvektor _ À r 2 (t) = 2 0 r · cos(t) 3 . Beschreibe die Bewegung des Körpers k. 576. Der Körper K besitzt die Bahnkurve k: X = 2 5 · cos(t) 0 3 . Der Körper M besitzt die Bahnkurve m: X = 2 0 5 · cos(2 t) 3 ; t º 0. a) Bestimme den Abstand der beiden Körper zum Zeitpunkt t = 0. b) Zeige, dass sich die Körper K und M im Interva ®® t * [0; 2 π ] nicht treffen. c) Bestimme die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers K im Interva ®® t * [0; π ]. d) Der Körper L besitzt die Bahnkurve ® : X = 2 5 · cos(t) 5 · cos(2 t) 3 ; t * [0; 2 π ]. Bestimme, we ® che der abgebi ® deten Kurven die Bahnkurve ® beschreibt. x y 2 4 6 8 10 –4 –2 2 4 –4 –2 0 m r k _ À Typ 2 Typ 2 x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 e x y 1 2 –2 – 1 1 2 –2 – 1 0 f x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 g x y 2 4 –4 –2 2 4 –4 –2 0 h Nur zu Prüfzwecken – Eigentum e des Verlags öbv