Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

153 Parameterdarstellung von Kurven | Kurven und Flächen im Raum 572. Zeichne die Kurven s 1 , s 2 , s 3 und ste ®® e fest, wie die Veränderung der Parameterdarste ®® ung die Form der Kurve beeinf ® usst. s 1 : X = 2 3 t cos(t) 3 t sin(t) t 3 mit t * [0; 2 π ]; s 2 : X = 2 3 t cos(t) 3 t sin(t) t 3 mit t * [0; 8 π ]; s 3 : X = 2 3 t cos(t) 3 t sin(t) 0,5 t 3 mit t * [0; 8 π ] F ® ächen im Raum Für die Beschreibung einer Ebene im Raum mit Hi ® fe der Parameterdarste ®® ung waren zwei voneinander unabhängige Parameter notwendig. Ganz a ®® gemein kann man F ® ächen im Raum mit zwei voneinander unabhängigen Parametern beschreiben. Parameterdarste ®® ung eines Zy ® indermante ® s: zy ® : X = 2 a cos(t) a sin(t) u 3 mit t * [0; 2 π ] und u * [0; b]. Diese Parameterdarste ®® ung kann so interpretiert werden, dass ein Kreis in der xy-Ebene mit Radius a k: X = 2 a cos(t) a sin(t) 0 3 kontinuier ® ich ent ® ang der z-Achse von u = 0 bis b verschoben wird. Es entsteht ein Zy ® inder mit Radius a und Höhe b. 573. Berechne das von den Zy ® inderf ® ächen z 1 und z 2 umsch ® ossenen Vo ® umen. z 1 : X = 2 3 cos(t) 3 sin(t) u 3 mit t * [0; 2 π ] und u * [0; 5]; z 2 : X = 2 7cos(t) 7 sin(t) u 3 mit t * [0; 2 π ] und u * [0; 10] Parameterdarste ®® ung einer Wende ® f ® äche w: X = 2 u cos(n t) u sin(n t) t 3 mit t * R ; u * [a; b]; n * N 574. Zeichne mit Hi ® fe des dynamischen Arbeitsb ® attes in der On ® ineergänzung die Wende ® f ® ächen w 1 , w 2 und w 3 mit den angegebenen Parametern. Finde die Wirkung der Parameter a, b und n heraus. a) w 1 : (a = 0; b = 3; n = 1); w 2 : (a = 0; b = 1; n = 1); w 3 : (a = 0; b = 4; n = 1) b) w 1 : (a = 1; b = 5; n = 1); w 2 : (a = 3; b = 5; n = 1); w 3 : (a = 2; b = 5; n = 1) Parameterdarste ®® ung des Kreises k k: X = (x M + r cos(t) 1 y M + r sin(t)) mit t * [0; 2 π ] k: X = 2 x M y M 3 + 2 r cos(t) r sin(t) 3 mit t * [0; 2 π ] r: Kreisradius; M = (x M 1 y M ): Mitte ® punkt des Kreises x z zy ® b 0 a y x z 2 4 6 8 0 1 2 3 4 y w –2 –4 –4 Techno ® ogie Darste ®® ung Wende ® f ® ächen 46z7vq zusammenfassung x y rsint t k r M y M x M rcost X Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv