Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

152 kompe- tenzen 6.2 Kurven und F ® ächen im Raum Lernzie ® e: º Parameterdarste ®® ung von Schraub- und Spira ®® inie kennen º Parameterdarste ®® ung von F ® ächen im Raum kennen º Kurven und F ® ächen in Parameterdarste ®® ung mit Techno ® ogieeinsatz zeichnen und untersuchen können Kurven im Raum Fügt man der Parameterdarste ®® ung einer Kurve im R 2 noch eine dritte Koordinate hinzu, so erhä ® t man die Parameterdarste ®® ung einer Kurve im Raum. Die Parameterdarste ®® ung der Kurve k: X = 2 r cos(t) r sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ] beschreibt zum Beispie ® einen Kreis in der xy-Ebene mit Mitte ® punkt im Ursprung und dem Radius r. Sie beschreibt die kreisförmige Bewegung eines Körpers gegen den Uhrzeigersinn. 570. Durch die Kurven k 1 , k 2 , k 3 werden Bewegungen von Punkten beschrieben. Die einze ® nen Kurven unterscheiden sich jewei ® s in einem Merkma ® . Zeichne die Kurven und ste ®® e fest, wie diese Veränderung die beschriebene Bewegung beeinf ® usst. a) k 1 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ]; k 2 : X = 2 3 cos(t) 3 sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ]; k 3 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ] b) k 1 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) 0 3 mit t * [0; 2 π ]; k 2 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) 3 3 mit t * [0; 2 π ]; k 3 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) ‒2 3 mit t * [0; 2 π ] Ändert sich die z-Koordinate des Kreises mit dem Parameter t, so ändert sich während der Kreisbewegung auch die z-Koordinate (Höhe) des Punktes. Man erhä ® t im Interva ®® [0; 2 n π ] n Umdrehungen einer Schrauben ® inie : s: X = 2 r cos(t) r sin(t) t 3 mit t * [0; 2 n π ] 571. Bei den Parameterdarste ®® ungen s 1 , s 2 , s 3 wird jewei ® s ein Merkma ® verändert. Zeichne die Schrauben ® inien und ste ®® e fest, wie diese Veränderung die Form der Kurve beeinf ® usst. a) s 1 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) t 3 mit t * [0; 2 π ]; s 2 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) t 3 mit t * [0; 4 π ]; s 3 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) t 3 mit t * [0; 6 π ] b) s 1 : X = 2 4 cos(t) 4 sin(t) t 3 mit t * [0; 2 π ]; s 2 : X = 2 4 cos(2 t) 4 sin(2 t) t 3 mit t * [0; 2 π ]; s 3 : X = 2 4 cos(4 t) 4 sin(4 t) t 3 mit t * [0; 2 π ] z k –4 –2 –2 –4 –2 –4 –2 –6 2 2 4 6 0 4 6 Techno ® ogie Darste ®® ung Schrauben ® inie m74z4q x z y k –8 –4 –4 –8 –2 –8 –4 –12 4 4 8 12 0 8 12 16 20 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum r des 2 Verlags öbv x y