Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

151 Parameterdarstellung von Kurven | Kurven in der Ebene a) z 1 : X = 2 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 ; z 2 : X = 2 3 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 ; z 3 : X = 2 4 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 b) z 1 : X = 2 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 ; z 2 : X = 2 t 3 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 ; z 3 : X = 2 t ‒ 3 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 c) z 1 : X = 2 4 t 0 3 + 2 cos(‒ t) sin(‒ t) 3 ; z 2 : X = 2 4 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 ; z 3 : X = 2 4 t 0 3 + 2 5 cos(‒ t) 5 sin(‒ t) 3 568. Die Epizyk ® oide wird durch einen Punkt erzeugt, der sich ent ® ang einer Kreis ® inie (grün: Epizyke ® ) bewegt, deren Mitte ® punkt sich ent ® ang einer weiteren Kreis ® inie (b ® au: Deferent) verschiebt. Um die Kurve der Epizyk ® oide (rot) zu erha ® ten, bestimmt man zuerst die Bahnkurve eines Punktes P, der sich gegen den Uhrzeigersinn mit dem konstanten Bahnradius (z. B. r = 3) um den Ursprung bewegt: X = 2 0 0 3 + 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 ; t * [0; 2 π ] Nun macht man den Kreismitte ® punkt „beweg ® ich“, indem man ihn durch eine Kreis ® inie ersetzt. Der Mitte ® punkt wandert a ® so mit zunehmendem t auf einer Kreis ® inie mit konstantem Radius (z. B. r = 5) gegen den Uhrzeigersinn. X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 ; t * [0; 2 π ] Um eine Epizyk ® oide e zu erha ® ten, muss sich der k ® eine Kreis schne ®® er drehen (siehe Aufgabe 565), a ® s der große Kreis. Dies erreicht man durch eine Faktor (z. B. 6) vor dem Parameter t: e: X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 3 cos(6 t) 3 sin(6 t) 3 ; t * [0; 2 π ] 1) Ste ®® e fo ® gende Epizyk ® oide e 1 , e 2 und e 3 mit Techno ® ogieeinsatz dar (t * [0; 2 π ]). 2) Wie wirken sich die veränderten Parameter auf die Form der Epizyk ® oide aus? a) e 1 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 3 cos(3 t) 3 sin(3 t) 3 ; e 2 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 3 cos(6 t) 3 sin(6 t) 3 ; e 3 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 3 cos(9 t) 3 sin(9 t) 3 b) e 1 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 2 cos(6 t) 2 sin(6 t) 3 ; e 2 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 7cos(6 t) 7sin(6 t) 3 ; e 3 : X = 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 + 2 10 cos(6 t) 10 sin(6 t) 3 c) e 1 : X = 2 4 cos(t) 4 sin(t) 3 + 2 3 cos(6 t) 3 sin(6 t) 3 ; e 2 : X = 2 2 cos(t) 2 sin(t) 3 + 2 3 cos(6 t) 3 sin(6 t) 3 ; e 3 : X = 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 + 2 3 cos(6 t) 3 sin(6 t) 3 569. Rosenkurven (Rosettenkurve) Sie werden durch fo ® gende Parameterdarste ®® ung beschrieben: X = 2 r · sin(a t) · cos(t) r · sin(a t) · sin(t) 3 mit t * [0; 2 π ] a) Überprüfe fo ® gende Behauptung: Für a gerade ergibt sich eine Rose mit 2 a B ® ättern. Für a ungerade ergibt sich eine Rose mit a B ® ättern. b) Untersuche den Einf ® uss des Parameters r auf die Gesta ® t der Rose. Techno ® ogie Darste ®® ung Spurpunkte der Epizyk ® oide 7hn8bi x y 4 8 –8 –4 4 –8 –4 0 M P t = 0 x y 4 8 –8 –4 4 –8 –4 0 P M t = 0,5 x y 4 8 –8 –4 4 –8 –4 0 P M t = 0,75 x y 4 8 –8 –4 4 –8 –4 0 z t = 1,2 M Techno ® ogie Darste ®® ung Rosenkurven r6w2bi Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv