Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

150 Parameterdarstellung von Kurven 6 565. Beurtei ® e, we ® che der beiden Bahnkurven eine schne ®® ere Bewegung beschreibt, und begründe deine Entscheidung. a) k 1 : X = 2 1 2 3 + 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 ; k 2 : X = 2 1 2 3 + 2 3 cos 2 t 3 sin 2 t 3 c) k 1 : X = 2 3 cos 3 t 3 sin 3 t 3 ; k 2 : X = 2 3 cos 5 t 3 sin 5 t 3 b) k 1 : X = 2 ‒ 3 5 3 + 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 ; k 2 : X = 2 1 2 3 + 2 3 cos (‒ 2 t) 3 sin(‒ 2 t) 3 d) k 1 : X = 2 3 cos(t) 3 sin(t) 3 ; k 2 : X = 2 3 cos(‒ t) 3 sin (‒ t) 3 566. Die Spira ® e Die Spira ® e wird durch die Bewegung eines Körpers erzeugt, der sich kreisförmig um einen Punkt bewegt, dessen Bahnra- dius (Abstand zum Mitte ® punkt) a ®® erdings ständig größer wird. Ersetzt man in der Parameterform der Kreisg ® eichung k: X = 2 r cos(t) r sin(t) 3 den konstanten Wert r des Radius durch den variab ® en Wert t, so erhä ® t man fo ® gende Parameterform: s: X = 2 t cos(t) t sin(t) 3 = (t cos(t) 1 t sin(t)) mit t * [0; 4 π ]. Die Entstehung der so beschriebenen Kurve kann man sich a ® s „Kreis“ vorste ®® en, dessen Radius mit zunehmendem Wert von t immer größer wird: eine Spira ® e . 1) Ste ®® e fo ® gende Spira ® kurven s 1 und s 2 mit Techno ® ogieeinsatz dar. 2) Wodurch unterscheiden sich die durch s 1 und s 2 beschriebenen Bewegungen? 3) Wie kann man in der Angabe diese Bewegungsunterschiede erkennen? a) s 1 : X = (t cos(t) 1 t sin(t)); t * [0; 4 π ] s 2 : X = (2 t cos(t) 1 2 t sin(t)); t * [0; 4 π ] b) s 1 : X = (t cos(t) 1 t sin(t)); t * [0; 6 π ] s 2 : X = (t cos(‒ t) 1 t sin(‒ t)); t * [0; 6 π ] c) s 1 : X = (t cos(t) 1 t sin(t)); t * [0; 8 π ] s 2 : X = ((t + 2) cos(t) 1 ( t + 2) sin(t)); t * [0; 8 π ] d) s 1 : X = (t cos(t) 1 t sin(t)); t * [0; 8 π ] s 2 : X = (t cos(2 t) 1 2 t sin(2 t)); t * [0; 4 π ] 567. Die Zyk ® oide (oder Rad ® inie) Die Zyk ® oide wird durch einen Punkt erzeugt, der sich ent ® ang einer Kreis ® inie bewegt, deren Mitte ® punkt sich ent ® ang einer Geraden verschiebt. Um die Kurve der Zyk ® oide zu erha ® ten, bestimmt man zuerst die Bahnkurve k eines Punktes P, der sich im Uhrzeigersinn mit dem konstanten Bahnradius (z. B. r = 3) um den Ursprung bewegt: k: X = 2 0 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 . Nun macht man den Kreismitte ® punkt „beweg ® ich“, indem man seine x-Koordinate durch den Parameter t ersetzt. Der Mitte ® punkt wandert a ® so mit zunehmendem t nach rechts. Man erhä ® t die Kurve der Zyk ® oide z: X = 2 t 0 3 + 2 3 cos(‒ t) 3 sin(‒ t) 3 . 1) Ste ®® e fo ® gende Zyk ® oiden z 1 , z 2 und z 3 mit Techno ® ogieeinsatz im Interva ®® [0; 6 π ] dar. 2) Wodurch unterscheiden sich die Zyk ® oiden? 3) Wie kann man diese Unterschiede in der Angabe erkennen? Arbeitsb ® att Kurven Parameter i85ai6 Techno ® ogie Darste ®® ung Spira ® e 9r4mn9 x y s Arbeitsb ® att Kurven Parameter Zuordnung 26h638 x y 4 8 12 –4 4 8 –8 –4 0 t = 0 k P M x y 4 8 12 –4 4 8 –8 –4 0 t = 1 k P M x y 4 8 12 –4 4 8 –8 –4 0 t = 3,5 k P M x y 4 8 –4 4 8 –8 –4 0 t = 10,6 k P M Techno ® ogie Darste ®® ung Zyk ® oide pv8jj8 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv