Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 15 Gleichungen höheren Grades | Nullstellen von Polynomfunktionen Um die Nu ®® ste ®® en zu bestimmen, sind die G ® eichungen f(x) = 0, g(x) = 0 und h(x) = 0 zu ® ösen. f(x) = 0 hat eine ree ®® e Lösung, d. h. f hat eine (einfache) Nu ®® ste ®® e. g hat zwei Nu ®® ste ®® en, wobei es sich bei der zweiten Nu ®® ste ®® e (dem Berührpunkt des Graphen von g mit der x-Achse) um eine zweifache Nu ®® ste ®® e hande ® t. Diese Ste ®® e tritt zweima ® a ® s Lösung der G ® eichung g(x) = 0 auf. h hat drei (einfache) Nu ®® ste ®® en. Mehr a ® s drei Nu ®® ste ®® en sind bei Po ® ynomfunktionen vom Grad 3 nicht mög ® ich. 32. Bestimme die Nu ®® ste ®® en der Funktion f. a) f(x) = x 3 – 3 x + 52 c) f(x) = x 3 – x 2 – 20 x e) f(x) = x 3 – 3 x + 2 b) f(x) = x 3 – 12 x + 16 d) f(x) = x 3 – 4 x 2 – 2 x + 20 f) f(x) = x 3 – x 2 – 6 x 33. Bestimme die Nu ®® ste ®® en der Funktion f mit f(x) = x 4 – x 3 – 3 x 2 + 5 x – 2. Anhand des Graphen erkennt man, dass f die Nu ®® ste ®® en x 1 = ‒ 2 und x 2 = 1 besitzt. Es so ®® rechnerisch gezeigt werden, dass es sich bei x 2 um eine dreifache Nu ®® ste ®® e hande ® t. Dazu wird zunächst der Linearfaktor (x + 2) durch eine Po ® ynomdivision abgespa ® ten: (x 4 – x 3 – 3 x 2 + 5 x – 2) : (x + 2) = x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 Da x 3 – 3 x 2 + 3 x – 1 = (x – 1) 3 gi ® t, hande ® t es sich bei x 2 = 1 um eine dreifache Nu ®® ste ®® e. Der Graph der Funktion f schmiegt sich an dieser Ste ®® e an die x-Achse an. Mehrfache Nu ®® ste ®® e Ist x 0 eine mehrfache Nu ®® ste ®® e einer Po ® ynomfunktion f, so schmiegt sich der Graph von f an dieser Ste ®® e an die x-Achse (die waagrechte Achse) an. 34. Zeige, dass es sich bei der Ste ®® e x 0 um eine mehrfache Nu ®® ste ®® e hande ® t. a) f(x) = x 3 + 3 x 2 – 24 x – 80, x 0 = ‒ 4 c) f(x) = x 4 + 14 x 3 + 60 x 2 + 50 x – 125, x 0 = ‒ 5 b) f(x) = x 3 – 9 x 2 + 15 x – 7, x 0 = 1 d) f(x) = x 4 + 2 x 3 – 2 x – 1, x 0 = ‒1 35. Gegeben ist der Graph einer normierten Funktion f. Gib die Funktionsg ® eichung an. Die Nu ®® ste ®® en sind ganzzah ® ig. a) b) c) 36. Bestimme die Nu ®® ste ®® en der Po ® ynomfunktion und gib deren Vie ® fachheit an. a) f(x) = x 2 + x – 20 d) f(x) = x 3 – 8 x 2 + 5 x + 50 b) f(x) = 5 x 2 + 9 x – 2 e) f(x) = 2 x 4 + 11 x 3 + 18 x 2 + 4 x – 8 c) f(x) = x 3 – 5 x 2 – 12 x – 14 f) f(x) = x 4 – 10 x 3 + 36 x 2 – 54 x + 27 muster x f(x) 1 2 –2 – 1 5 10 –5 0 f Arbeitsb ® att Bestimmen von Po ® ynom- funktionen u4vg7y x f(x) 2 4 –2 10 – 10 0 f x f(x) 2 4 –2 10 – 10 0 f x f(x) 2 4 –2 10 – 10 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv