Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 149 Parameterdarstellung von Kurven | Kurven in der Ebene 563. Zeige, dass die Parameterdarste ®® ung k: X = (x M + r cos(t) 1 y M + r sin(t)) mit t * [0; 2 π ] einen Kreis mit dem Mitte ® punkt M = (x M 1 y M ) beschreibt. Setze dafür die x- und die y-Koordinate in die imp ® izite Kreisg ® eichung ein. Parameterdarste ®® ung einer E ®® ipse Um die Parameterdarste ®® ung einer E ®® ipse zu erha ® ten, ersetzt man in der Parameterdarste ®® ung eines Kreises (mit M = (0 1 0)) den Radius durch die beiden Parameter a und b der E ®® ipse. Bei der x-Koordinate ersetzt man den Radius durch die Länge der großen Ha ® bachse a und bei der y-Koor- dinate durch die Länge der k ® einen Ha ® bachse b. Parameterdarste ®® ung einer E ®® ipse Für a ®® e Punkte X einer E ®® ipse e ®® mit den Ha ® bachsen a und b gi ® t: e ®® : X = (a cos(t) 1 b sin(t)) mit t * [0; 2 π ] 564. Gib die Parameterdarste ®® ung der E ®® ipse e ®® an. a) e ®® : 4 x² + 9 y² = 36 c) e ®® : 9 x² + 25 y² = 225 e) e ®® : 4 x² + 9 y² = 144 b) e ®® : x² + 10 y² = 10 d) e ®® : x² + 3 y² = 12 f) e ®® : 3 x² + 5 y² = 30 Andere Kurven in Parameterdarste ®® ung – Bewegungskurven Für die Aufgaben dieses Abschnitts ist der Einsatz von Techno ® ogie vorgesehen. Die Parameterdarste ®® ung eignet sich sehr gut, um Kurven darzuste ®® en, die sich aus den Bewegungen eines (punktförmigen) Körpers ergeben ( Bewegungskurven ). Der Parameter t kann dann a ® s die Zeit betrachtet werden, die seit dem Anfang der Bewegung vergangen ist, und jeder Punkt der Kurve markiert die Ste ®® e, an der der Körper zum Zeitpunkt t war. Die Kreiskurve k: X = 2 3 2 3 + 2 5 cos(t) 5 sin(t) 3 beschreibt nach dieser „Bewegungsinterpretation“ die kreisförmige Bewegung eines Körpers um den Mitte ® punkt M = (3 1 2). Für t = 0 ergibt sich die Anfangs ® age des Körpers, für t = 1 ergibt sich die Ste ®® e, an der der Punkt nach einer Sekunde ist, usw. Die Kurve k wird a ® s die Bahn(-kurve) eines Körpers interpretiert, der sich gegen den Uhrzeigersinn auf einer Kreisbahn um den Mitte ® punkt M im Abstand 5 bewegt. Verändert man das Vorzeichen des Winke ® s in der Parameterdarste ®® ung von k, so erhä ® t man die Kurve m: X = 2 3 2 3 + 2 5 cos(‒ t) 5 sin(‒ t) 3 . Diese beschreibt nach dieser Interpretation die g ® eiche kreisförmige Bewegung wie k, nur mit umgekehrtem Um ® aufsinn. Der Körper bewegt sich nun im Uhrzeigersinn In den fo ® genden Aufgaben werden ein paar ausgewäh ® te Kurventypen ausführ ® icher behande ® t, die sich aus Bewegungen von Körpern ergeben. x y t a b P = (a · cos(t) 1 b · sin(t)) a · cos(t) b · sin(t) x y 2 4 6 8 10 12 14 –2 2 4 6 8 –2 0 M r = 5 k Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 2 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 1 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 0 (Anfangsort) x y 2 4 6 8 10 12 14 –2 2 4 6 –4 –2 0 M r = 5 m Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 2 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 1 Ort des Körpers zum Zeitpunkt t = 0 (Anfangsort) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv