Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 148 Parameterdarstellung von Kurven 6 557. Zum Kreis k sind zwei Definitionsmengen des Parameters t in Interva ®® schreibweise gegeben. Zeichne den Kreis k für beide Interva ®® e in ein Koordinatensystem und beschreibe, wie sich die veränderte Definitionsmenge des Parameters t auf die Kurve auswirkt. a) k: X = (2 cos(t) 1 2 sin(t)) 1) 4 0; π _ 2 5 2) [ π ; 2 π ] c) k: X = (50 cos(t) 1 50 sin(t)) 1) [0; π ] 2) [ π ; 2 π ] b) k: X = (3 cos(t) 1 3 sin(t)) 1) 4 π _ 2 ; π  5 2) 4 3 π _ 2 ; 2 π  5 d) k: X = (cos(t) 1 sin(t)) 1) 4 0; π _ 4 5 2) 4 π ; 5 π _ 4 5 558. Fo ® gende Kurve ist Tei ® eines Kreises. Gib dessen Parameterform an. a) b) c) 559. Zeige, dass die Parameterdarste ®® ung k: X = (r cos(t) 1 r sin(t)) mit t * [0; 2 π ] einen Kreis beschreibt, indem du x- und y-Koordinate in die imp ® izite Kreisg ® eichung einsetzt. 560. Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn k. Der Parameter t gibt die F ® ugzeit in Sekunden an, die Werte der Koordinaten sind in Meter angegeben. a) k: X = 2 8 cos 2 t · 2 π _ 5 3 1 8 sin 2 t · 2 π _ 5 3 3 mit t * [0; 15} b) k: X = 2 cos 2 t · π _ 5 3 1 sin 2 t · π _ 5 3 3 mit t * [0; 20] 1) Bestimme den Radius der Kreisbahn. 2) Wie ® ange benötigt der Körper, um einen vo ®® en Kreis zurückzu ® egen, und wie vie ® e vo ®® e Kreise f ® iegt der Körper? 3) Bestimme die Geschwindigkeit des Körpers in m/s und in km/h. 4) Bestimme die Parameterdarste ®® ung der F ® ugbahn eines Körpers, der in 10m Entfernung um den Koordinatenursprung kreist und für einen vo ®® en Kreis acht Sekunden benötigt. Parameterdarste ®® ung eines Kreises k mit M = (x M 1 y M ) Für a ®® e Punkte X eines Kreises k mit dem Radius r gi ® t: k: X = (x M + r cos(t) 1 y M + r sin(t)) mit t * [0; 2 π ] Eine weitere Darste ®® ungsart ist: k: X = 2 x M y M 3 + 2 r cos(t) r sin(t) 3 mit t * [0; 2 π ] 561. Gib die Parameterdarste ®® ung des Kreises k mit dem Radius r und dem Mitte ® punkt M an. a) r = 3; M = (2 1 5) b) r = 1; M = (‒ 3 1 2) c) r = 50; M = (0 1 50) d) r = 0,1; M = (1 1 1) 562. Gib die Parameterdarste ®® ung für den abgebi ® deten (nicht ganz sichtbaren) Kreis an. x y 2 4 –4 –2 2 4 –2 0 k x y 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 –4 –2 0 k x y 1 2 –2 – 1 1 2 – 1 0 k x y rsint t k r M y M x M rcost X = (x M + rcost 1 y M + rsint) x y 2 4 6 8 10 –2 2 4 –2 0 k x y 1 2 –4 –3 –2 – 1 –3 –2 – 1 0 k x y 2 4 6 –6 –4 –2 –6 –4 –2 0 k a) b) c) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv