Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 147 Parameterdarstellung von Kurven | Kurven in der Ebene Parameterdarste ®® ung eines Kreises Die imp ® izite Darste ®® ung des abgebi ® deten Kreises k ® autet: k: x 2 + y 2 = 25. Eine exp ® izite Darste ®® ung ist nur mög ® ich, wenn man zwei Funktionsg ® eichungen zur Beschreibung zu ® ässt. Man erhä ® t diese, indem man die Koordinate y aus der imp ® iziten Darste ®® ung exp ® izit ausdrückt und beachtet, dass die Wurze ® positiv oder negativ sein kann. B ® auer Tei ® des Kreises: f 1 (x) = 9 ____ 25 – x 2 ; x * [‒ 5; 5] Roter Tei ® des Kreises: f 2 (x) = ‒ 9 ____ 25 – x 2 ; x * [‒ 5; 5] Ein großer Vortei ® der Parameterdarste ®® ung ® iegt darin, dass man in der Wah ® des Parameters gewisse Freiheiten besitzt. Wenn man den Winke ® t a ® s Parameter nimmt, so kann man x- und y-Koordinate jedes Punktes X auf dem Kreis k (in nebenstehender Abbi ® dung) durch diesen Parameter t ausdrücken: x = 5 cos(t); y = 5 sin(t) w k: X = (5 cos(t) 1 5 sin(t)); mit t * [0; 2 π ] Parameterdarste ®® ung eines Kreises k mit M = (0 1 0) Für a ®® e Punkte X eines Kreises k mit dem Radius r gi ® t: k: X = (r cos(t) 1 r sin(t)) mit t * [0; 2 π ] Eine weitere Darste ®® ungsart ist: k: X = 2 r cos(t) r sin(t) 3 mit t * [0; 2 π ] 554. Gib eine Parameterdarste ®® ung des Kreises k mit dem Radius r an, dessen Mitte ® punkt im Ursprung ® iegt. a) r = 4 b) r = 1 c) r = 100 d) r = 0,4 e) r = 7 f) r = a Parameterdarste ®® ung einer Kurve Geogebra: Kurve[<Ausdruck>, <Ausdruck>, <Parameter>, <Startwert>, <Endwert>] Beispie ® : Kurve[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 π ] 555. Bestimme den Radius des Kreises k und gib dessen imp ® izite Darste ®® ung an. a) k: X = (7cos(t) 1 7sin(t)) mit t * [0; 2 π ] c) k: X = (9 cos(t) 1 9 sin(t)) mit t * [0; 2 π ] b) k: X = (cos(t) 1 sin(t)) mit t * [0; 2 π ] d) k: X = (0,5 cos(t) 1 0,5 sin(t)) mit t * [0; 2 π ] 556. Gib die Koordinaten der Punkte auf dem Kreis k an, die den Werten t 1 , t 2 , t 3 entsprechen. a) k: X = (cos(t) 1 sin(t)); t 1 = 0; t 2 = π _ 2 ; t 3 = π b) k: X = (4 cos(t) 1 4 sin(t)); t 1 = π _ 2 ; t 2 = 5 π _ 2 ; t 3 = 1 x y 2 4 6 8 10 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 k f 1 f 2 x y 4 6 8 10 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 5sint t k r = 5 5cost X = (5cost 1 5sint) x y 2 4 6 8 10 –6 –4 –2 2 4 6 –4 –2 0 k t r X = (r cost 1 r sint) Techno ® ogie Darste ®® ung Parameter- darste ®® ung Kreis j6mi2c Techno ® ogie An ® eitung Kreis aus Spurpunkten th4kp8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv