Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

141 Kegelschnitte Training Vernetzung – Typ-2-Aufgaben 538. Nach den Kep ® er’schen Gesetzen bewegen sich P ® aneten auf E ®® ipsenbahnen um die Sonne. In einem gemeinsamen Brennpunkt befindet sich die Sonne. Ein P ® anet befindet sich im Aphe ® , wenn er die größtmög ® iche Entfernung zur Sonne einnimmt und im Perihe ® , wenn er der Sonne am nächsten ist. Die numerische Exzentrizität ε ist definiert a ® s der Quotient aus ® inearer Exzentrizität e und der Länge der großen Ha ® bachse einer E ®® ipse. a) Der P ® anet Merkur ist im Aphe ® 69,7·10 6 km und im Perihe ® 45,9 ·10 6 km von der Sonne entfernt. Bestimme die Länge der großen Ha ® bachse a und die ® ineare Exzentrizität e der e ®® iptischen Um ® aufbahn des P ® aneten Merkur. b) Oft wird die mitt ® ere Entfernung m eines P ® aneten zur Sonne angegeben. m ist das arith- metische Mitte ® aus Perihe ® und Aphe ® . Interpretiere, we ® chem Parameter der E ®® ipsenbahn der Wert m entspricht. c) Bestimme die Werte, die die numerische Exzentrizität ε bei einer E ®® ipse annehmen kann und untersuche, wie der Wert von ε die Form der E ®® ipse beeinf ® usst. d) Die Erdbahn hat eine numerische Exzentrizität von ε = 0,0167. Sie kann a ® so näherungsweise a ® s Kreisbahn angenommen werden. Berechne unter dieser Annahme die mitt ® ere Geschwindigkeit der Erde in km/s auf ihrer jähr ® ichen Bahn um die Sonne. A ® s Radius r der Erdbahn kann man dabei deren mitt ® ere Entfernung zur Sonne nehmen: r = 149,6 Mi ®® ionen km. e) Für die F ® äche A einer E ®® ipse mit der großen Ha ® bachsen ® änge a und k ® einer Ha ® bachsen ® änge b gi ® t: A = π · a · b und A = π · a 2 · 9 ___ 1 – ε 2 . Zeige, dass die beiden Forme ® n identisch sind. Sonne Aphel Umlaufbahn Perihel Typ 2 Maßstabsgetreue Darste ®® ung der e ®® iptischen Um ® aufbahn der Erde (orange) im Verg ® eich mit einem Kreis (weiß). 1. Brennpunkt und Sonne Dez Nov Okt Sep Aug Jul 2. Brennpunkt Perihel Aphel Jun Mai Apr Mär Feb Jan Nur zu Prüfzweck n – Eigentum des Verlags öbv