Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

139 Kegelschnitte | Tangenten an Kegelschnitten 534. Erk ® äre die Funktionsweise des abgebi ® deten Fern ® ichts. 535. In Bib ® iotheken so ®® man mög ® ichst ® eise sein. Damit sich in früheren Zeiten Bib ® iothekare über weite Strecke unterha ® ten konnten, ohne die Bib ® iotheksbesucher zu stören, gab es in manchen Bib ® iotheken so genannte F ® üsterstrecken. Erk ® äre mit Hi ® fe der Abbi ® dung, wie eine F ® üsterstrecke funktioniert. Schnittwinke ® zwischen zwei Kege ® schnitten Der Schnittwinke ® zwischen zwei Kurven ist definiert a ® s der Winke ® , den die beiden Tangenten im Schnittpunkt einsch ® ießen. Den Schnittwinke ® zu bestimmen, bedeutet meistens einen sehr hohen Rechenaufwand. Am besten bestimmt man diesen mit Techno ® ogieeinsatz (siehe On ® ineergänzung). 536. Bestimme den Schnittwinke ® den die Parabe ® par: y 2 = 4,5 x und die E ®® ipse e ®® : 2 x 2 + 3 y 2 = 35 einsch ® ießen. 1. Schritt: Zunächst bestimmt man die Schnittpunkte von par und e ®® . Auf Grund geometrischer Über ® egungen sind zwei Schnittpunkte zu erwarten. par in e ®® einsetzen: 2 x 2 + 3(4,5 x) = 35 w 2 x 2 + 13,5 x – 35 = 0 w x 1 = 2; x 2 = ‒ 35 _ 4 x 2 kommt a ® s Lösung nicht in Frage, da der Schnittpunkt mit einer Parabe ® in 1. Haupt ® age keinen negativen x‒Wert haben kann. x 1 in par eingesetzt ® iefert die y-Koordinaten der Schnittpunkte: y 2 = 4,5 · 2 = 9 w y 1 = 3; y 2 = ‒ 3 w S 1 = (2 1 3); S 2 = (2 1 ‒ 3) 2. Schritt: Da die beiden Schnittwinke ® in den Schnittpunkten aus Symmetriegründen g ® eich groß sind, genügt es, einen Schnittwinke ® zu bestimmen. Man bestimmt dafür mit Hi ® fe der Tangentensteigungen Richtungsvektoren der beiden Tangenten: t e ®® : 4 x + 9 y = 35 w k t e ®® = ‒ 4 _ 9 w Richtungsvektor = 2 9 ‒ 4 3 t par : 3 y = (2 + x) 2,25 w k t par = 3 _ 4 w Richtungsvektor = 2 4 3 3 cos( α ) = 2 9 ‒ 4 3 · 2 4 3 3 __ | 2 9 ‒ 4 3 | · | 2 4 3 3 | = 24 __ 9 __ 97 · 9 __ 25 = 0,487 w α = 60,83° 537. Bestimme den Schnittwinke ® zwischen den Kege ® schnitten. a) e ®® : x 2 + 3 y 2 = 12; hyp: 3 x 2 – y 2 = 1 d) k: x 2 + y 2 = 100; par: y 2 = ‒3 x b) par: y 2 = 5 x; e ®® : 4 x 2 + 9 y 2 = 13 e) par: y 2 = 2 x; y 2 = – 2 x c) par: x 2 = ‒8 y; hyp: 5 x 2 – 2 y 2 = 10 f) par: x 2 = 3 y; y 2 = x α S 1 t par t e ®® S 2 e ®® par muster Techno ® ogie An ® eitung Schnittwinke ® bestimmen 2 sq3xz4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv