Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 137 Kegelschnitte | Tangenten an Kegelschnitten 523. Bestimme die Winke ® , unter denen die Geraden g, h und ® auf die E ®® ipse e ®® treffen. a) e ®® : x 2 + 2 y 2 = 18; g: x – 4 y = 0; h: y = 1; ® : x = 4 b) e ®® : 5 x 2 + 9 y 2 = 405; g: 2 x + 3 y = 27; h: y = 5; ® : x = 6 Die E ®® ipse hat eine ganz besondere Ref ® exionseigenschaft, we ® che auch in technischen Anwendungen ausgenützt wird. Der Strah ® von einem Brennpunkt (F 1 ) zu einem E ®® ipsenpunkt X sch ® ießt mit der E ®® ipse genau den g ® eichen Winke ® ein, wie der Strah ® vom anderen Brennpunkt F 2 zum Punkt X. Trifft a ® so ein Lichtstrah ® oder eine Scha ®® we ®® e vom Brennpunkt kommend auf die E ®® ipse, so wird der Lichtstrah ® oder die Scha ®® we ®® e genau in den anderen Brennpunkt ref ® ektiert. 524. Überprüfe am Beispie ® der E ®® ipse e ®® und am E ®® ipsenpunkt X die oben beschriebene Ref ® exionseigenschaft einer E ®® ipse. a) e ®® : 3 x 2 + 5 y 2 = 120; X = (5 1 3) c) e ®® : x 2 + 2 y 2 = 3; X = (1 1 1) b) e ®® : 3 x 2 + 4 y 2 = 19; X = (1 1 2) d) e ®® : x 2 + 2 y 2 = 9; X = (1 1 2) 525. F ® üstergewö ® be wird eine bau ® iche Konstruktion genannt, mit deren Hi ® fe man sich über ungewöhn ® ich große Distanzen in norma ® er Lautstärke unterha ® ten kann. Betrachte die nebenstehende Skizze und beschreibe die Funktionsweise des abgebi ® deten F ® üstergewö ® bes. 526. E ®® ipsenförmiger Spiege ® a) Betrachte die nebenstehende Skizze und beschreibe die Funktionsweise des abgebi ® deten e ®® ipsenförmigen Spiege ® s. b) Erk ® äre, wie man einen e ®® ipsenförmigen Spiege ® technisch einsetzen könnte. Tangente an eine Hyperbe ® Tangenteng ® eichung im Punkt T = (x T 1 y T ) an eine Hyperbe ® Durch „Aufspa ® ten“ von x 2 und y 2 in der Hyperbe ® g ® eichung hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spa ® tform der Hyperbe ® tangente t: t: b 2 x T x – a 2 y T y = a 2 b 2 (Beweis auf S. 271) 527. Bestimme die G ® eichung der Tangente im Punkt T = (15 1 y < 0) an die Hyperbe ® hyp: x 2 – 5y 2 = 45. 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die y-Koordinate von T, indem man dessen x-Wert in hyp einsetzt: 15 2 – 5 y 2 = 45 w y 2 = 36 w y = ‒ 6 (da y < 0 sein so ®® ) w T = (15 1 ‒ 6) 2. Schritt: Die Tangenteng ® eichung erhä ® t man, indem man T in die Spa ® tform einsetzt: t: 15 · x – 5 · (‒ 6) · y = 45 w t: x – 2 y = 3 528. Bestimme die G ® eichung der Tangente im Punkt T an die Hyperbe ® hyp. a) hyp: 3 x 2 – y 2 = 12; T = (‒ 4 1 y > 0) d) hyp: 2 x 2 – 3 y 2 = 29; T = (x > 0 1 11) b) hyp: x 2 – 2 y 2 = 14; T = (‒ 8 1 y > 0) e) hyp: 2 x 2 – 7y 2 = 9; T = (‒ 6 1 y > 0) c) hyp: 5 x 2 – 9 y 2 = 28; T = (x < 0 1 8) f) hyp: x 2 – 2 y 2 = 1; T = (‒ 3 1 y > 0) Techno ® ogie An ® eitung Schnittwinke ® bestimmen 1 535mq7 Ref ® exionsgesetz Trifft ein Lichtstrah ® auf eine gekrümmte F ® äche, so sch ® ießen einfa ®® ender Strah ® und ref ® ektierter Strah ® mit der Tangentia ® ebene den g ® eichen Winke ® ein. α α e ®® F 1 F 2 F 2 X F 1 X X t F 1 F 2 x y T hyp t muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv