Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 136 kompe- tenzen 5.5 Tangenten an Kege ® schnitten Lernzie ® e: º Die Tangenten an Kege ® schnitte bestimmen können º Den Schnittwinke ® zwischen Kege ® schnitten ermitte ® n können Im Kapite ® 4 wurde bereits gezeigt, wie man mit der Spa ® tform die G ® eichung der Tangente an einen Kreis in einem Punkt bestimmen kann. Spa ® tformen gibt es auch für E ®® ipse, Hyperbe ® und Parabe ® . Tangente an eine E ®® ipse Tangenteng ® eichung im Punkt T = (x T 1 y T ) an eine E ®® ipse Durch „Aufspa ® ten“ von x 2 und y 2 in der E ®® ipseng ® eichung e ®® : b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ergibt sich die Spa ® tform der E ®® ipsentangente t: b 2 x T x + a 2 y T y = a 2 b 2 (Beweis auf S. 270) 519. Bestimme die G ® eichung der Tangente im Punkt T = (‒ 5 1 y > 0) an die E ®® ipse e ®® : x 2 + 5 y 2 = 45. 1. Schritt: Zuerst bestimmt man die y-Koordinate von T, indem man dessen x‒Wert in e ®® einsetzt: (‒ 5) 2 + 5 y 2 = 45 w y 2 = 4 w y = 2 (da y > 0 sein so ®® ) w T = (‒ 5 1 2) 2. Schritt: Die Tangenten ® eichung erhä ® t man, indem man T in die Spa ® tform einsetzt: t: (‒ 5) x + 5 · 2 · y = 45 w t: ‒ x + 2 y = 9 Tangente an einen Kege ® schnitt bestimmen Geogebra: Tangente[<Punkt>, <Kege ® schnitt>] z. B. Tangente[(0,6),x 2 + 2 y 2 = 72] t: y = 6 520. Berechne die G ® eichung der Tangente im Punkt T an die E ®® ipse e ®® . a) e ®® : 3 x 2 + 5 y 2 = 17; T = (2 1 1) b) e ®® : 5 x 2 + 9 y 2 = 29; T = (‒ 2 1 1) c) e ®® : 2 x 2 + 7y 2 = 9; T = (‒1 1 1) 521. Bestimme die G ® eichung der beiden senkrechten und waagrechten Tangenten an die E ®® ipse. a) e ®® : 2 x 2 + 5 y 2 = 10 b) e ®® : x 2 + 2 y 2 = 18 c) e ®® : 4 x 2 + 6 y 2 = 24 d) e ®® : x 2 + 9 y 2 = 9 Schnittwinke ® zwischen E ®® ipse und Gerade Der Schnittwinke ® , unter dem eine Gerade g im Punkt S auf die E ®® ipse e ®® trifft, ist der Winke ® zwischen der Tangente t in S und der Geraden g. Er kann mit der Vektor-Winke ® -Forme ® berechnet werden. 522. Hat die Gerade g zwei Schnittwinke ® mit der E ®® ipse e ®® , so sind die beiden Schnittwinke ® nicht immer g ® eich groß. Er ® äutere unter we ® chen Bedingungen die beiden Schnittwinke ® g ® eich groß sind. x y e ®® T t muster Techno ® ogie An ® eitung Tangenten bestimmen 5t4b8f α S t e ®® g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv