Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

techno- logie Merke 134 Kegelschnitte 5 509. Ermitt ® e die gemeinsamen Punkte der E ®® ipse e ®® und der Geraden g. a) e ®® : x 2 + 3 y 2 = 40; g: X = 2 ‒1 2 3 + t 2 3 ‒1 3 c) e ®® : 16 x 2 + 25 y 2 = 800; g: X = 2 ‒ 5 4 3 + t 2 5 4 3 b) e ®® : x 2 + 4 y 2 = 4; g: X = 2 ‒ 2 0 3 + t 2 2 1 3 d) e ®® : 4 x 2 + 9 y 2 = 25; g: X = 2 ‒ 3 3 3 + t 2 ‒ 9 ‒ 8 3 Gemeinsame Punkte von Kege ® schnitt und Gerade bestimmen Geogebra: Schneide[<Objekt>, <Objekt>] Bsp.: Schneide[x 2 + 5 y 2 = 45, 2 x + y] Lösung: A(‒ 0,98, 2,97); B(1,94, ‒ 2,87) 510. Bestimme die gemeinsamen Punkte der E ®® ipse e ®® und der Geraden g. a) e ®® : 5 x 2 + 3 y 2 = 4; g: 2 x – y = 3 b) e ®® : x 2 + 3 y 2 = 12; g: x = 1 c) e ®® : 3 x 2 + 4 y 2 = 24; g: x + y = 3 511. Bestimme die Schnittpunkte der E ®® ipse e ®® mit der ersten und der zweiten Mediane. a) e ®® : 3 x 2 + 5 y 2 = 12 b) e ®® : x 2 + 4 y 2 = 10 c) e ®® : 2 x 2 + 7y 2 = 14 Lagebeziehung Hyperbe ® -Gerade Lagebeziehung Hyperbe ® Gerade Hat die Gerade keinen Punkt mit der Hyperbe ® gemeinsam, so ist sie eine Passante. Hat sie zwei Punkte gemeinsam, so ist sie eine Sekante . Haben Gerade und Hyperbe ® einen Punkt gemeinsam, so gibt es zwei mög ® iche Lagebeziehungen : 1. Die Gerade berührt die Hyperbe ® und ist eine Tangente. 2. Die Gerade ist para ®® e ® zu einer der Asymptoten, dann ist sie eine Sekante mit einem Schnittpunkt. 512. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der Hyperbe ® hyp: 3 x 2 – 4 y 2 = 12 und der Geraden g: x – y = 1. Bestimme gegebenenfa ®® s die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. 1. Schritt: Zuerst drückt man eine Variab ® e aus g aus und setzt diese in hyp ein: x = 1 + y w 3(1 + y) 2 – 4 y 2 = 12 2. Schritt: Die so erha ® tene quadratische G ® eichung ® iefert den y‒Wert des gemeinsamen Punktes: ‒ y 2 + 6 y + 3 = 12 w y = 3 3. Schritt: Durch Einsetzen in die Geradeng ® eichung erhä ® t man den x‒Wert des Schnitt- punktes: x = 4 w S = (4 1 3) 4. Schritt: Da die Hyperbe ® und die Gerade einen Punkt gemeinsam haben, kann die Gerade eine Tangente oder – fa ®® s sie die g ® eiche Steigung wie eine Asymptote hat – eine Sekante sein. Aus der Hyperbe ® g ® eichung erkennt man, dass a 2 = 4 und b 2 = 3 gi ® t, a ® so beträgt die Asymptotensteigung ± b _ a = ± 9 _ 3 _ 9 _ 4 = ± 0,87. Die Steigung von g beträgt 1. Die Gerade ist nicht para ®® e ® zu einer Asymptote. Die Gerade ist eine Tangente mit dem Schnittpunkt S = (4 1 3). Techno ® ogie An ® eitung Schnittpunkte von Kege ® schnitten 1 jb25sd x y Asymptoten a 2 a 1 Sekante Tangente S T hyp x y hyp Passante Sekante S 1 S 2 muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv