Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 133 kompe- tenzen 5.4 Lagebeziehungen zwischen Kege ® schnitten und Geraden Lernzie ® e: º Die Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einem Kege ® schnitt bestimmen können º Die Lagebeziehung und den Schnittwinke ® zwischen zwei Kege ® schnitten ermitte ® n können In Kapite ® 4 wurde schon gezeigt, wie man die Lagebeziehung zwischen Kreis und Gerade festste ®® t. Um die Lagebeziehung zwischen einem Kege ® schnitt und einer Geraden zu bestimmen, geht man auf g ® eiche Weise vor: Man ermitte ® t die Schnittpunkte zwischen der Geraden und dem Kege ® schnitt und sch ® ießt auf die Lagebeziehung. Lagebeziehung E ®® ipse-Gerade Lagebeziehung E ®® ipse-Gerade Es gibt drei mög ® iche Lagebeziehungen: Je nach Anzah ® der Schnittpunkte ist die Gerade eine Sekante , eine Tangente oder eine Passante . 506. Bestimme die Lagebeziehung zwischen der E ®® ipse e ®® : x 2 + 2 y 2 = 18 und der Geraden g: x + 2 y = 6. Bestimme gegebenenfa ®® s die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. 1. Schritt: Zuerst drückt man eine Variab ® e aus der Geradeng ® eichung aus und setzt diese in die E ®® ipseng ® eichung ein: x = 6 – 2 y w (6 – 2 y) 2 + 2 y 2 = 18. 2. Schritt: Die quadratische G ® eichung ® iefert die y‒Werte der Schnittpunkte: 6 y 2 – 24 y + 18 = 0 w y 1 = 1; y 2 = 3 3. Schritt: Durch Einsetzen in die Geradeng ® eichung erhä ® t man die x‒Werte der beiden Schnittpunkte: x 1 = 6 – 2 ·1 = 4; x 2 = 0 w S 1 = (4 1 1); S 2 = (0 1 3) Da es zwei Schnittpunkte gibt, ist die Gerade eine Sekante. 507. Ermitt ® e die Lagebeziehung zwischen der E ®® ipse e ®® und der Geraden g. Bestimme gegebenenfa ®® s die Koordinaten der gemeinsamen Punkte. a) e ®® : x 2 + 5 y 2 = 45; g: ‒ x + 5 y = 15 d) e ®® : 2 x 2 + 3 y 2 = 5; g: y = 1 b) e ®® : 9 x 2 + 25 y 2 = 900; g: y = ‒ 3 _ 5 x + 6 e) e ®® : x 2 + 5 y 2 = 9; g: y = ‒ x + 3 c) e ®® : x 2 + 2 y 2 = 32; g: y = ‒ x + 8 f) e ®® : 2 x 2 + 7y 2 = 9; g: 2 x + 7y = 9 508. Bestimme die gemeinsamen Punkte der E ®® ipse e ®® : x 2 + 5 y 2 = 45 und der Geraden g: X = 2 5 2 3 + t 2 2 ‒1 3 . 1. Schritt: Zuerst schreibt man die Gerade g koordinatenweise an: x = 5 + 2 t; y = 2 – t. 2. Schritt: Dann setzt man x und y in die E ®® ipseng ® eichung ein und berechnet den Parameter t: (5 + 2 t) 2 + 5 (2 – t) 2 = 45 w 9 t 2 + 45 = 45 w t 1, 2 = 0 3. Schritt: Da die quadratische G ® eichung nur eine Lösung t = 0 besitzt, gibt es nur einen gemeinsamen Punkt T. Diesen erhä ® t man, indem man t in die Geradeng ® eichung einsetzt: T = 2 5 2 3 + 0 2 2 ‒1 3 = (5 1 2) x y Tangente Sekante Passante ell S 2 S 1 T muster muster Nur zu Prüfzwecken – Eigentum es ( Verlags öbv