Lösungswege Mathematik Oberstufe 7, Schulbuch

Merke 13 Gleichungen höheren Grades | Polynomdivision 25. Bestimme die Lösungen der G ® eichung x 3 + 6 x 2 – x – 30 = 0 in R . Zer ® ege dazu den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. Das konstante G ® ied ‒ 30 hat die Tei ® ermenge T = {±1, ± 2, ± 3, ± 5, ± 6, ±10, ±15, ± 30}. Diese Zah ® en kommen a ® s ganzzah ® ige Lösungen der G ® eichung in Frage. Durch Probieren ergibt sich z. B. x 1 = 2 a ® s eine Lösung, denn 2 3 + 6 · 2 2 ‒ 2 – 30 = 0. Mitte ® s einer Po ® ynomdivision kann der Linearfaktor (x – 2) abgespa ® ten werden: (x 3 + 6 x 2 – x – 30) : (x – 2) = x 2 + 8 x + 15 – x 3 + 2 x 2 Es gi ® t a ® so: 8 x 2 – x – 30 x 3 + 6 x 2 – x – 30 = (x 2 + 8 x + 15) · (x – 2) = 0 – 8 x 2 + 16 x Man wendet den Produkt-Nu ®® -Satz an: 15 x – 30 x 2 + 8 x + 15 = 0 ¥ x 2 = ‒ 5 x 3 = ‒ 3 – 15 x + 30 Die Lösungsmenge der G ® eichung ® autet 0 L = {‒ 5; ‒ 3; 2}. Abspa ® ten eines Linearfaktors Kennt man von einer G ® eichung der Form p(x) = 0 (p ist ein Po ® ynom n-ten Grades, n > 1) die Lösung x 1 , kann p(x) durch den Faktor (x – x 1 ) dividiert werden. Dadurch entsteht ein Po ® ynom vom Grad (n – 1). Man sagt: Der Linearfaktor (x – x 1 ) wird abgespa ® tet. 26. Löse die G ® eichung in R durch Abspa ® ten eines Linearfaktors. a) x 3 – 5 x 2 + 17x – 13 = 0 c) x 3 – 6 x 2 + 18 x – 40 = 0 e) x 3 – 7x 2 + 12 x + 20 = 0 b) x 3 + x 2 + 4 x + 30 = 0 d) x 3 – 5 x 2 – 7x + 51 = 0 f) x 3 + x 2 – 7x + 65 = 0 27. Löse die G ® eichung in R und zer ® ege den Term in ein Produkt von Linearfaktoren. a) 5 x 3 – 4 x 2 – 11 x – 2 = 0 c) 8 x 3 + 22 x 2 – 7x – 3 = 0 e) x 4 + 9 x 3 + 23 x 2 + 3 x – 36 = 0 b) 2 x 3 – 3 x 2 – 2 x = 0 d) x 3 + x 2 – x – 1 = 0 f) x 4 – 8 x 3 + 24 x 2 – 32 x + 16 = 0 28. Löse die G ® eichung in der Menge der ree ®® en Zah ® en. a) x 3 + x 2 – x – 1 = 0 d) x 3 – 13 x + 12 = 0 g) x 4 – 9 x 2 – 4 x + 12 = 0 b) x 3 – x 2 – 100 = 0 e) x 3 – 6 x 2 – 14 x + 104 = 0 h) x 4 – x 3 – 21 x 2 + 45 x = 0 c) 5 x 3 – 10 x 2 + x – 2 = 0 f) 2 x 3 – 14 x – 12 = 0 i) x 4 – x 3 – 33 x 2 – 63 x = 0 Beim Lösen a ® gebraischer G ® eichungen können g ® eiche Lösungen auftreten. In diesem Fa ®® spricht man von Mehrfach ® ösungen . Die G ® eichung x 3 – x 2 – 21 x + 45 = 0 hat die Lösungen x 1 = x 2 = ‒ 5 (Doppe ®® ösung der G ® eichung) und x 2 = 3. Die G ® eichung dritten Grades hat zwei (unterschied ® iche) Lösungen. Für die Linearfaktorzer ® egung des Terms gi ® t: x 3 – x 2 – 21 x + 45 = (x + 5) (x + 5) (x – 3) = (x + 5) 2 (x – 3) 29. Wie vie ® e (unterschied ® iche) Lösungen hat die G ® eichung? Gib auch deren Vie ® fachheit an. a) 4 x 2 – 12 x + 9 = 0 c) x 3 + 9 x 2 + 27x + 27 = 0 b) 2 x 3 + 7x 2 + 4 x – 4 = 0 d) x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 + 12 x + 9 = 0 30. Gib den Grad der G ® eichung, die Lösungen und deren Vie ® fachheit an. a) (x – 3) 2 (x + 5) = 0 c) (x + 4) 2 (x – 4) 2 = 0 e) x 2 (x – 1) (x + 8) = 0 b) (5 x + 1) 3 = 0 d) (2 x – 1) 5 = 0 f) x (x + 2) 2 (x – 3) 3 = 0 31. Gib eine G ® eichung vom Grad 3 an, die a) genau eine Lösung b) genau zwei Lösungen c) genau drei verschiedene Lösungen besitzt. muster Arbeitsb ® att Po ® ynomdivision gt484z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv